Mesure de probabilité et loi d'une variable aléatoire

Contrairement au cas de l'intégrale de Lebesgue, les espaces L^p définis pour l'intégrale par rapport à une mesure de probabilité sont emboités. Cette particularité provient du fait que la mesure de l'espace entier est fini (alors que la mesure de Lebesgue de R est infini).

Une mesure de probabilité vise à intégrer des variables aléatoires. La définition d'une telle intégrale est similaire à celle de l'intégrale de Lebesgue.

La définition d'une variable aléatoire comme application mesurable sur un espace de probabilité permet de considérer sa loi comme une mesure image.

Lorsque l'espace de probabilité n'est pas dénombrable, la construction d'une mesure de probabilité nécessite le recours au cadre général de la théorie de la mesure, introduit dans le cadre de l'intégrale de Lebesgue (notion de pi-systèmes, classes monotones).