La géométrie spectrale est le domaine des mathématiques qui vise à faire le lien entre la géométrie d'un objet et son spectre de vibration. Le domaine a connu une première naissance dans les années 1910, quand les précurseurs de la mécanique quantique ont cherché à calculer le spectre des atomes à partir de considérations géométriques sur le modèle planétaire. La question s'est ensuite muée en l'étude du spectre d'opérateurs de Schrödinger, en lien avec la géométrie symplectique dans l'espace des phases de la mécanique classique. La seconde naissance du domaine remonte aux années 1960 avec le théorème de l'indice, qui donne des relations entre certains « indices topologiques » (par exemple la caractéristique d'Euler d'un espace topologique) et le bas du spectre d'un opérateur elliptique (comme l'opérateur de Laplace). Ce domaine connaît actuellement une activité intense du côté de la physique, avec la découverte du rôle de la notion d'« indice » dans la description des matériaux topologiques. Parmi les grandes questions de la géométrie spectrale, citons : Le chaos quantique : c'est l'étude du spectre d'un opérateur de Schrödinger, quand le système hamiltonien qui lui correspond en mécanique classique est chaotique ; Les problèmes inverses : que peut-on deviner de la géométrie d'un objet à partir de la mesure de son spectre de vibration ? Le lien entre spectre et topologie, via divers avatars du théorème de l'indice ; Le spectre de systèmes désordonnés ou d'objets géométriques aléatoires ; Le lien entre géométrie et contrôle des ondes : quels sont les meilleurs endroits où se placer pour « diriger » une onde ? Le cours sera tourné vers les aspects mathématiques de ces questions, mais certaines années le séminaire sera l'occasion d'entendre des physiciens présenter leurs travaux en lien avec le cours.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : From Unitary Dynamics to Statistical Mechanics in Isolated Quantum SystemsIntervenant(s) : Marcos Rigol, Penn State UniversityRésuméExperiments with ultracold gases have made it possible to study dynamics of (nearly-) isolated quantum many-body systems, which has revived theoretical interest on this topic. In generic isolated systems, one expects nonequilibrium dynamics to result in thermalization: a relaxation to states where the values of macroscopic quantities are stationary, universal with respect to widely differing initial conditions, and predictable through the time-tested recipe of statistical mechanics. However, it is not obvious what feature of a many-body system makes quantum thermalization possible, in a sense analogous to that in which dynamical chaos makes classical thermalization possible. Underscoring that new rules could apply in the quantum case, experimental studies in one-dimensional systems have shown that traditional statistical mechanics can provide wrong predictions for the outcomes of relaxation dynamics. We show that isolated "nonintegrable" systems do in fact relax to states in which observables are well-described by statistical mechanics. Moreover, we argue that the time evolution itself only plays an auxiliary role as thermalization occurs at the level of individual eigenstates.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202309 - Principes d'incertitude entropique et fractal : Ergodicité quantique sur les grands graphes III
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Mobility Edge of Lévy MatricesIntervenant(s) : Charles Bordenave, Institut de Mathématiques de MarseilleRésuméI will discuss the problem of unreasonable effectiveness of random matrix theory for description of spectral fluctuations in extended quantum lattice systems. A class oflocally interacting spin systems has been recently identified where the spectral form factor is proven to match with gaussian or circular ensembles of random matrix theory, and where spatiotemporal correlation functions of local observables as well as some measures of dynamical complexity can be calculated analytically. These, so-called dual unitary systems, include integrable, non-ergodic, ergodic, and generically, (maximally) chaotic cases. After reviewing the basic properties of dual unitary Floquet circuits, I will argue that correlation functions of these models are generally perturbatively stable with respect to breaking dual-unitarity, and describe a simple result within this framework.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202309 - Principes d'incertitude entropique et fractal : Ergodicité quantique sur les grands graphes II
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Exactly Solved Models of Many-Body Quantum ChaosIntervenant(s) : Tomaž Prosen, Université de LjubljanaRésuméI will discuss the problem of unreasonable effectiveness of random matrix theory for description of spectral fluctuations in extended quantum lattice systems. A class oflocally interacting spin systems has been recently identified where the spectral form factor is proven to match with gaussian or circular ensembles of random matrix theory, and where spatiotemporal correlation functions of local observables as well as some measures of dynamical complexity can be calculated analytically. These, so-called dual unitary systems, include integrable, non-ergodic, ergodic, and generically, (maximally) chaotic cases. After reviewing the basic properties of dual unitary Floquet circuits, I will argue that correlation functions of these models are generally perturbatively stable with respect to breaking dual-unitarity, and describe a simple result within this framework.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202308 - Principes d'incertitude entropique et fractal : Ergodicité quantique sur les grands graphes I
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Quantum Unique Ergodicity and Random Matrices, an IntroductionIntervenant(s) : Paul Bourgade, Courant Institute, New York UniversityRésuméI will review the role of the quantum unique ergodicity (QUE) notion of delocalization, in the context of random matrices. QUE can be proved by dynamic or combinatorial methods, and implies that the local eigenvalues statistics exhibit the universal repulsion of Gaussian, invariant ensembles.We will focus in particular on the techniques involving the Dyson Brownian Motion.Applications include Wigner matrices, Erdös Rényi and d-regular random graphs, and random band matrices.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202307 - Principes d'incertitude entropique et fractal : application à l'ergodicité quantique II
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202306 - Principes d'incertitude entropique et fractal : application à l'ergodicité quantique I (2)
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202305 - Principes d'incertitude entropique et fractal : application à l'ergodicité quantique I (1)
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Fractal Uncertainty PrincipleIntervenant(s) : Semyon Dyatlov, Massachussetts Institute of TechnologyRésuméFractal uncertainty principle states that if a function is Fourier localized to a fractal set, then only a very small part of its mass can live on another fractal set. In this talk I will state the fractal uncertainty principle and discuss two proofs: a simpler one in the case of arithmetic Cantor sets (joint work with Long Jin) and a more complicated one for general fractal subsets of the real line (joint work with Jean Bourgain).
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202304 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Entropie et support des mesures semiclassiques
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Rank-Uniform Local Law and Quantum Unique Ergodicity for Wigner MatricesLászló Erdős, Institute of Science and Technology AustriaRésuméLarge random matrices tend to exhibit universal spectral fluctuations. Besides overviewing the well-known Wigner-Dyson and Tracy-Widom universality for Hermitian Wigner matrices, we present new analogous results for non-Hermitian matrices. In particular, we establish edge universality, CLT for linear statistics and a precise three-term asymptotic expansion for the rightmost eigenvalue of an n by n random matrix with independent identically distributed complex entries as n tends to infinity.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202303 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Entropie des fonctions propres en courbure négative
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : ETechniques semiclassiques en dimension infinieFrancis Nier, Université Paris 13RésuméL'asymptotique de champ moyen bosonique est connue depuis longtemps comme étant formellement un problème semiclassique en dimension infinie. Un certain nombre de travaux se sont penchés ces dernières années sur l'adaptation des techniques semiclassiques à la dimension infinie, pas forcément pour traiter uniquement du champ moyen. Après des discussions avec certains collègues, dont Steve Zelditch, je propose de faire un rapide tour d'horizon de ce qui marche et de ce qui ne marche pas exactement comme en dimension finie. Dans un premier temps j'exposerai quelques modèles simples qui entrent, directement ou pas vraiment, dans un cadre de champ moyen. Ensuite j'exposerai différentes approches et aborderai des subtilités liées à la dimension infinie. Steve Zelditch m'avait entre autre demandé : « Y a-t-il un théorème d'Egorov en dimension infinie ? ». Ma réponse est : « Non et oui ». J'expliquerai.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202302 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Le théorème d'ergodicité quantique
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Séminaire - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Eigenstate Thermalization Hypothesis – From Interacting Qubits to Quantum Field TheoryAnatoly Dymarsky, University of KentuckyRésuméI will discuss various aspects of Eigenstate Thermalization Hypothesis (ETH), including rigorous definition of the "subsystem ETH", weak vs strong ETH, connection to thermalization dynamics, and extension to integrable systems (the so-called generalized ETH). The latter will be illustrated by the case of 2d conformal field theories – one of the very few models which has been solved analytically.
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-202301 - Ergodicité et thermalisation des fonctions propres : Introduction au chaos quantique
Nalini AnantharamanGéométrie spectraleCollège de FranceAnnée 2022-2023Leçon inaugurale - Nalini Anantharaman : Histoires de spectresDans les années 1920, une théorie mathématique (la diagonalisation des matrices) et une question physique (la détermination du spectre des atomes), nées indépendamment, se sont rejointes pour donner donner naissance à la mécanique quantique, et à la branche des mathématiques appelée « théorie spectrale ».La théorie spectrale intervient à chaque fois que l'on doit étudier une équation d'évolution linéaire : elle permet de décomposer les solutions de l'équation comme superposition de solutions stationnaires, appelées « modes propres », vibrant à certaines fréquences dites « fréquences propres ». Les fréquences propres constituent le « spectre ». C'est ainsi qu'un son se décompose en superposition d'harmoniques, ou que la lumière est une superposition de couleurs.Une question toujours au coeur de la théorie spectrale est de savoir distinguer le spectre discret du spectre continu, et de déterminer où les mode propres sont localisés. La théorie spectrale est un domaine de l'analyse mathématique où l'on doit en permanence travailler dans des espaces de dimension infinie, ce qui rend les calculs très abstraits. Cependant, pour les besoins de la physique, ou simplement parce que l'on a besoin de garder une intuition géométrique des phénomènes, on cherche à comprendre le lien entre la géométrie initiale du problème (la forme d'un instrument de musique, la description planétaire de l'atome,…) et le spectre de l'objet. C'est la raison d'être de la géométrie spectrale.La leçon expliquera l'histoire du domaine, quelques grands thèmes de recherche passés et actuels, ainsi que mes contributions.
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