Podcasts about maxwell gleichungen

Die numerische Zeitintegration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen ist an der Fakultät für Mathematik ein großes Forschungsgebiet, insbesondere in dem kürzlich gestarteten Sonderforschungsbereich SFB1173 zum Thema Wellenphänomene. Das Ziel dieser Forschung ist es, numerische Verfahren für Probleme zu entwickeln, für die man keine analytische Lösung angeben kann. Patrick Krämer forscht hierbei an besonders effizienten Verfahren für Beispiele aus der Quantenphysik, speziell der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung. Darin ist die Klein-Gordon-Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen verbunden. Die Klein-Gordon Gleichung ist das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung, die die nicht-relativistische Bewegung atomarer Teilchen bzw. dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung im Raum modelliert. Durch die Kombination mit den Maxwellgleichungen können nun die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern mit den Teilchen unter Berücksichtigung relativistischer Effekte beschrieben werden. Die Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen aufweist. Um eine gute numerische Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung zu erhalten, benötigt man Verfahren, die diese Oszillationen gut auflösen können. Für die bisher bekannten Verfahren ist es dafür notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu wählen. Patrick Krämer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen. Stattdessen wird nur die Einhüllende der Welle numerisch berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer verändert, und anschließend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation multipliziert. Die Einhüllende lässt sich hierbei numerisch sehr effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens auf ein Schrödinger-Poisson System, dessen Lösung nur langsame Oszillationen aufweist und damit deutlich größere Zeitschrittweiten zulässt. Die Arbeit von Patrick Krämer war auch Teil des Cooking Math Projekts, das mit Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines Mathematikers vorstellt. Literatur und Zusatzinformationen E. Faou, K. Schratz: Asymptotic preserving schemes for the Klein–Gordon equation in the non-relativistic limit regime, Numerische Mathematik 126.3: 441-469, 2014. N. Masmoudi, K. Nakanishi: Nonrelativistic limit from Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Dirac to Poisson-Schrödinger, International Mathematics Research Notices 2003.13: 697-734, 2003. Schwabl, Franz. Quantenmechanik für Fortgeschrittene (qm ii), Springer-Verlag, 2008. Podcasts J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting

In der zweiten Vorlesung wird anhand von Experimenten der Welle/Teilchen-Dualismus erläutert, bevor mit den Maxwell-Gleichungen die Lösungen der Wellengleichung diskutiert werden.

In der Quantenmechanik können freie Elementarteilchen durch irreduzible Darstellungen der Poincare-Algebra beschrieben werden. Im Rahmen der Darstellungtheorie der q-deformierten Poincaré-Algebra untersucht diese Arbeit den Spin von Teilchen auf einer nichtkommutativen Geometrie. Zunaechst wird eine Uebersicht ueber die Konstruktion der q-Lorentz-Algebra gegeben. Ausgehend von q-Spinoren, wird die q-Lorentz-Gruppe und die zu ihr duale q-Lorentz-Algebra konstruiert. Dabei soll gezeigt werden, dass die q-Lorentz-Algebra weitgehend durch mathematische Konsistenzbedingungen festgelegt ist. Anschliessend wird die Struktur der q-Lorentz-Algebra untersucht. Ihre Darstellungstheorie einschliesslich expliziter Formeln fuer die q-Clebsch-Gordan-Koeffzienten wird zusammengefasst. Nach einer allgemeinen Betrachtung von Tensor-Operatoren in Hopf-Algebren werden die Vektorgeneratoren der Quantenalgebra der Drehungen berechnet. Zwei weitere Formen der q-Lorentz-Algebra, die vektorielle oder RS-Form (Wess) und die Quantendoppel-Form (Woronowicz), werden vorgestellt. Ein Isomorphismus zwischen beiden Formen wird gefunden. Die Darstellungstheorie der q-Lorentz-Algebra wird verwendet, um die Algebra des q-Minkowski-Raumes zu konstruieren. Vertauschungsregeln zwischen den Erzeugern der q-Minkowski-Algebra und den verschiedenen Formen der q-Lorentz-Algebra werden angegeben. Die Struktur der von Rotationen und Translationen erzeugten q-Euklidischen Algebra wird eingehend untersucht und dadurch ihr Zentrum bestimmt. Daraus können zunaechst die nullte Komponente und schliesslich alle Komponenten des q-Pauli-Lubanski-Vektor bestimmt werden. Mit dem q-Pauli-Lubanski-Vektor können die Algebren der Spin-Symmetrie, die kleinen Algebren, berechnet werden, sowohl fuer den massiven als auch den masselosen Fall. Irreduzible Spin-Darstellungen der q-Poincaré-Algebra werden konstruiert. Zunaechst werden Darstellungen in einer physikalisch interpretierbaren Drehimpuls-Basis berechnet. Die Berechnungen werden dabei durch die Verwendung des q-Wigner-Eckart-Theorems stark vereinfacht. Anschliessend wird gezeigt, wie Darstellungen durch die Methode der Induktion gewonnen werden können. Ausgehend von einer darstellungstheoretischen Interpretation von Wellengleichungen werden schlielich freie q-relativistische Wellengleichungen bestimmt. Dazu werden zunächst allgemeine Betrachtungen zu q-Lorentz-Spinoren, konjugierten Spinoren und dem Verhaeltnis von q-Impulsen und q-Ableitungen auf den Spinor-Darstellungen angestellt. Als Beispiele werden die q-Dirac-Gleichung, die q-Weyl-Gleichungen und die q-Maxwell-Gleichungen eindeutig bestimmt.