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Die nichtkommutative Geometrie stellt den ältesten Zugang zur Regularisierung von Ultraviolettdivergenzen der Punktwechselwirkungen in der Stöhrungstheorie dar. Dieser Zugang ist eine Verallgemeinerung der Quantenmechanik. Die Regularisierung erfolgt durch nichtverschwindende Unschärferelationen, die sich aus der neu eingeführten Nichtkommutativität der Ortsoperatoren ergibt. Zusätzlich ist das Ortseigenwertspektrum quantisiert - der messbare Raum erhält eine diskrete Struktur. Diese wird physikalisch als gravitativer Hochenergieeffekt auf der Planck-Skala verstanden. Der Bruch der Poincaré-Symmetrie durch nichkommutative Ortsoperatoren stellt die zentrale technische Problematik der nichtkommutativen Geometrie dar. Die mathematische Handhabung dieser Problemstellung ist aufwendig und wird im mathematischen Fachgebiet der Quantengruppen behandelt. Die mathematische Entwicklung hat sich dabei teilweise von den Bedürfnissen der Physik entfernt. Diese Doktorarbeit leistet einen Betrag dazu, Quantengruppen für die Anforderungen der Quantenfeldtheorie besser zugänglich zu machen. Zu diesem Zweck wird im Rahmen dieser Arbeit die Quantisierung der Poincaré-Algebra für nichtkommutative Räume mit kanonischen Kommutatorrelationen berechnet. Diese Räume sind äusserst populär unter Feldtheoretikern und verfügten bisher nur über Translationsinvarianz. Die Deformationen werden über einen notwendigen Satz von Bedingungen und einem allgemeinen Ansatz für die Lorentz-Generatoren bestimmt. Es wird eine zweiparametrige Schar von äquivalenten aber nichttrivialen Deformationen der Poincaré-Algebra erhalten. Die vollständige Hopf-Struktur wird berechnet und bewiesen. Casimir-Operatoren und Raumzeitinvarianten werden bestimmt. Desweiteren wird ein allgemeines Quantisierungsverfahren entwickelt, in dem die universelle Einhüllende von Matrix-Darstellungen von Lie-Algebren in eine eigens konstruierte Hopf-Algebra von Vektorfeldern als Unteralgebra eingebettet wird. Die unter Physikern populären Sternprodukte können damit generell zur Twist-Quantisierung von Lie-Algebren verwendet werden. Da die Hopf-Algebra der Vektorfelder grösser ist als die universelle Einhüllende der Lie-Algebra, sind allgemeinere Deformationen möglich als bisher. Dieses Verfahren wird weiterhin auf die Heisenbergalgebra mit Minkowski-Signatur angewendet. Dadurch erhält man eine fundamentale Verallgemeinerung der Quantenmechanik, motiviert als gravitativer Hochenergieeffekt. Nichtkommutativität wird dadurch in Abhängigkeit von Energie und Impuls gesetzt. Technisch wird dazu das Quantisierungsverfahren von Weyl und Moyal formalisiert. Die Mehrfachanwendung von Twists wird eingeführt.

Die Annahme, daß die Raumzeit-Struktur durch kontinuierliche Koordinaten beschrieben werden kann, ist ein sehr erfolgreiches Konzept in der Physik. Bei sehr kleinen Abständen jedoch ist auch diese Struktur einer Quantisierung unterworfen, und man muß nach neuen physikalischen Modellen zu ihrer Beschreibung suchen. Eine Möglichkeit ist es, den Raum durch eine nichtkommutative Algebra darzustellen und auf diese Weise die entstehende Diskontinuität abzubilden. In dieser Arbeit wird der q-Minkowski Raum als ein konkretes Modell solch eines betrachtet. Das besondere dieser q-deformierten Räume ist, daß sie eine so genannte Quantengruppe als Hintergrundsymmetrie besitzen. Dies macht es möglich sich die in der Physik äußerst wichtigen darstellungstheoretischen Aspekte auch für die q-deformierte Quantenräume zunutze zu manchen. In den zwei Teilen dieser Arbeit werden irreduzible Darstellungen der q-deformierten Poincaré-Algebra berechnet. Im ersten Abschnitt werden wir sie als unitäre Darstellungen in einem abstrakten Hilbertraum realisieren, während wir sie im zweiten Teil als Lösungen der q-deformierten Klein-Gordon und Dirac-Gleichung erhalten werden. Wir beginnen die Konstruktion der irreduziblen Hilbertraum Darstellungen mit der Wahl eines maximalen Satzes von miteinander kommutierenden Operatoren. Deren Eigenwerte repräsentieren die gleichzeitig beobachtbaren Meßgrößen und die gemeinsamen Eigenvektoren spannen eine Basis des Hilbertraumes auf. Die Bestimmung der Matrixelemente der Generatoren der q-Poincaré-Algebra erfolgt durch sukzessives Auswerten der zwischen ihnen bestehenden Vertauschungsrelationen. Dazu wird zuerst eine Darstellung für die Koordinaten des q-Minkowski Raumes konstruiert, dann werden die Generatoren der Drehungen dargestellt, um schließlich mit Hilfe dieser Ergebnisse auch die Darstellungen der Boost Operatoren zu erhalten. Indem wir die Algebra der Ableitungen in die q-Poincaré-Algebra einbetten, ist es am Ende auch möglich für diese die Matrixelemente zu finden, und somit den kompletten q-Minkowski Phasenraum darzustellen. Um die Klein-Gordon Gleichung auf dem q-Minkowski Raum lösen zu können, ist es erst einmal nötig beliebige Funktionen ableiten zu können. Dies ist aufgrund der komplizierten Algebra Relationen zwischen den Koordinaten und Ableitungen ein schwieriges kombinatorisches Problem. Wie wir zeigen werden kann man es mit Hilfe von erzeugenden Funktionen lösen. Dies erlaubt es uns dann den Ruhezustand zu bestimmen, welcher die korrekte q-deformierte Verallgemeinerung der zeitabhängigen Exponentialfunktion auf dem q-Minkowski Raum darstellt. Durch Boosten dieses Zustandes wird anschließend eine Basis für die gesamte irreduzible Darstellung gefunden, die den Lösungsraum der Klein-Gordon Gleichung umfasst. Dieselben Methoden können nun auch dazu benutzt werden die Dirac-Gleichung zu lösen und Zustände mit einem Spin-1/2 Freiheitsgrad zu beschreiben.

In der Quantenmechanik können freie Elementarteilchen durch irreduzible Darstellungen der Poincare-Algebra beschrieben werden. Im Rahmen der Darstellungtheorie der q-deformierten Poincaré-Algebra untersucht diese Arbeit den Spin von Teilchen auf einer nichtkommutativen Geometrie. Zunaechst wird eine Uebersicht ueber die Konstruktion der q-Lorentz-Algebra gegeben. Ausgehend von q-Spinoren, wird die q-Lorentz-Gruppe und die zu ihr duale q-Lorentz-Algebra konstruiert. Dabei soll gezeigt werden, dass die q-Lorentz-Algebra weitgehend durch mathematische Konsistenzbedingungen festgelegt ist. Anschliessend wird die Struktur der q-Lorentz-Algebra untersucht. Ihre Darstellungstheorie einschliesslich expliziter Formeln fuer die q-Clebsch-Gordan-Koeffzienten wird zusammengefasst. Nach einer allgemeinen Betrachtung von Tensor-Operatoren in Hopf-Algebren werden die Vektorgeneratoren der Quantenalgebra der Drehungen berechnet. Zwei weitere Formen der q-Lorentz-Algebra, die vektorielle oder RS-Form (Wess) und die Quantendoppel-Form (Woronowicz), werden vorgestellt. Ein Isomorphismus zwischen beiden Formen wird gefunden. Die Darstellungstheorie der q-Lorentz-Algebra wird verwendet, um die Algebra des q-Minkowski-Raumes zu konstruieren. Vertauschungsregeln zwischen den Erzeugern der q-Minkowski-Algebra und den verschiedenen Formen der q-Lorentz-Algebra werden angegeben. Die Struktur der von Rotationen und Translationen erzeugten q-Euklidischen Algebra wird eingehend untersucht und dadurch ihr Zentrum bestimmt. Daraus können zunaechst die nullte Komponente und schliesslich alle Komponenten des q-Pauli-Lubanski-Vektor bestimmt werden. Mit dem q-Pauli-Lubanski-Vektor können die Algebren der Spin-Symmetrie, die kleinen Algebren, berechnet werden, sowohl fuer den massiven als auch den masselosen Fall. Irreduzible Spin-Darstellungen der q-Poincaré-Algebra werden konstruiert. Zunaechst werden Darstellungen in einer physikalisch interpretierbaren Drehimpuls-Basis berechnet. Die Berechnungen werden dabei durch die Verwendung des q-Wigner-Eckart-Theorems stark vereinfacht. Anschliessend wird gezeigt, wie Darstellungen durch die Methode der Induktion gewonnen werden können. Ausgehend von einer darstellungstheoretischen Interpretation von Wellengleichungen werden schlielich freie q-relativistische Wellengleichungen bestimmt. Dazu werden zunächst allgemeine Betrachtungen zu q-Lorentz-Spinoren, konjugierten Spinoren und dem Verhaeltnis von q-Impulsen und q-Ableitungen auf den Spinor-Darstellungen angestellt. Als Beispiele werden die q-Dirac-Gleichung, die q-Weyl-Gleichungen und die q-Maxwell-Gleichungen eindeutig bestimmt.