Podcasts about klein gordon

Die numerische Zeitintegration gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen ist an der Fakultät für Mathematik ein großes Forschungsgebiet, insbesondere in dem kürzlich gestarteten Sonderforschungsbereich SFB1173 zum Thema Wellenphänomene. Das Ziel dieser Forschung ist es, numerische Verfahren für Probleme zu entwickeln, für die man keine analytische Lösung angeben kann. Patrick Krämer forscht hierbei an besonders effizienten Verfahren für Beispiele aus der Quantenphysik, speziell der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung. Darin ist die Klein-Gordon-Gleichung mit den Maxwell-Gleichungen verbunden. Die Klein-Gordon Gleichung ist das relativistische Analogon zur Schrödingergleichung, die die nicht-relativistische Bewegung atomarer Teilchen bzw. dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung im Raum modelliert. Durch die Kombination mit den Maxwellgleichungen können nun die Wechselwirkung von elektromagnetischen Feldern mit den Teilchen unter Berücksichtigung relativistischer Effekte beschrieben werden. Die Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung kann als Welle betrachtet werden, die sehr schnelle zeitliche Oszillationen aufweist. Um eine gute numerische Lösung der Maxwell-Klein-Gordon Gleichung zu erhalten, benötigt man Verfahren, die diese Oszillationen gut auflösen können. Für die bisher bekannten Verfahren ist es dafür notwendig sehr kleine Zeitschrittweiten zu wählen. Patrick Krämer verfolgt bei seinem Verfahren nun die Idee, nicht jede einzelne der schnellen Oszillationen zu bestimmen. Stattdessen wird nur die Einhüllende der Welle numerisch berechnet, die sich zeitlich wesentlich langsamer verändert, und anschließend mit der hohen Frequenz der schnellen Oszillation multipliziert. Die Einhüllende lässt sich hierbei numerisch sehr effizient bestimmen, durch Anwendung eines Splitting-Verfahrens auf ein Schrödinger-Poisson System, dessen Lösung nur langsame Oszillationen aufweist und damit deutlich größere Zeitschrittweiten zulässt. Die Arbeit von Patrick Krämer war auch Teil des Cooking Math Projekts, das mit Studierenden der Hochschule für Gestaltung (HfG) unter Federführung von Jill Enders und Chris Spatschek durchgeführt wurde. Die wissenschaftliche Arbeit wurde hier in einen Film umgesetzt, der die Arbeit und Denkweise eines Mathematikers vorstellt. Literatur und Zusatzinformationen E. Faou, K. Schratz: Asymptotic preserving schemes for the Klein–Gordon equation in the non-relativistic limit regime, Numerische Mathematik 126.3: 441-469, 2014. N. Masmoudi, K. Nakanishi: Nonrelativistic limit from Maxwell-Klein-Gordon and Maxwell-Dirac to Poisson-Schrödinger, International Mathematics Research Notices 2003.13: 697-734, 2003. Schwabl, Franz. Quantenmechanik für Fortgeschrittene (qm ii), Springer-Verlag, 2008. Podcasts J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting

Die Annahme, daß die Raumzeit-Struktur durch kontinuierliche Koordinaten beschrieben werden kann, ist ein sehr erfolgreiches Konzept in der Physik. Bei sehr kleinen Abständen jedoch ist auch diese Struktur einer Quantisierung unterworfen, und man muß nach neuen physikalischen Modellen zu ihrer Beschreibung suchen. Eine Möglichkeit ist es, den Raum durch eine nichtkommutative Algebra darzustellen und auf diese Weise die entstehende Diskontinuität abzubilden. In dieser Arbeit wird der q-Minkowski Raum als ein konkretes Modell solch eines betrachtet. Das besondere dieser q-deformierten Räume ist, daß sie eine so genannte Quantengruppe als Hintergrundsymmetrie besitzen. Dies macht es möglich sich die in der Physik äußerst wichtigen darstellungstheoretischen Aspekte auch für die q-deformierte Quantenräume zunutze zu manchen. In den zwei Teilen dieser Arbeit werden irreduzible Darstellungen der q-deformierten Poincaré-Algebra berechnet. Im ersten Abschnitt werden wir sie als unitäre Darstellungen in einem abstrakten Hilbertraum realisieren, während wir sie im zweiten Teil als Lösungen der q-deformierten Klein-Gordon und Dirac-Gleichung erhalten werden. Wir beginnen die Konstruktion der irreduziblen Hilbertraum Darstellungen mit der Wahl eines maximalen Satzes von miteinander kommutierenden Operatoren. Deren Eigenwerte repräsentieren die gleichzeitig beobachtbaren Meßgrößen und die gemeinsamen Eigenvektoren spannen eine Basis des Hilbertraumes auf. Die Bestimmung der Matrixelemente der Generatoren der q-Poincaré-Algebra erfolgt durch sukzessives Auswerten der zwischen ihnen bestehenden Vertauschungsrelationen. Dazu wird zuerst eine Darstellung für die Koordinaten des q-Minkowski Raumes konstruiert, dann werden die Generatoren der Drehungen dargestellt, um schließlich mit Hilfe dieser Ergebnisse auch die Darstellungen der Boost Operatoren zu erhalten. Indem wir die Algebra der Ableitungen in die q-Poincaré-Algebra einbetten, ist es am Ende auch möglich für diese die Matrixelemente zu finden, und somit den kompletten q-Minkowski Phasenraum darzustellen. Um die Klein-Gordon Gleichung auf dem q-Minkowski Raum lösen zu können, ist es erst einmal nötig beliebige Funktionen ableiten zu können. Dies ist aufgrund der komplizierten Algebra Relationen zwischen den Koordinaten und Ableitungen ein schwieriges kombinatorisches Problem. Wie wir zeigen werden kann man es mit Hilfe von erzeugenden Funktionen lösen. Dies erlaubt es uns dann den Ruhezustand zu bestimmen, welcher die korrekte q-deformierte Verallgemeinerung der zeitabhängigen Exponentialfunktion auf dem q-Minkowski Raum darstellt. Durch Boosten dieses Zustandes wird anschließend eine Basis für die gesamte irreduzible Darstellung gefunden, die den Lösungsraum der Klein-Gordon Gleichung umfasst. Dieselben Methoden können nun auch dazu benutzt werden die Dirac-Gleichung zu lösen und Zustände mit einem Spin-1/2 Freiheitsgrad zu beschreiben.

On the basis of integral representations we propose numerical methods to solve the stochastic wave equation and the stochastic Klein-Gordon equation. The algorithms are exact in a probabilistic sense.