Podcasts about vektorfelder

Habt ihr euch schon mal gefragt, was die Karten beim Wetterbericht eigentlich aussagen? Das und vieles mehr erfahrt ihr in dieser Nussschale!

Kettenregel für partielle Ableitungen; Gradientenfeld: Wegunabhängigkeit f. Linienintegral; kons. Kraftfeld. Divergenz, Rotation, Laplace

Peer Kunstmann hat in Kiel Mathematik studiert und 1995 promoviert. In seiner Zeit an der Fakultät für Mathematik in Karlsruhe hat er sich 2002 habilitiert. Er arbeitet als Akademischer Oberrat dauerhaft in der Arbeitsgruppe Angewandte Analysis an unserer Fakultät. Gudrun hat das Gespräch über ein für beide interessantes Thema - das Stokesproblem - gesucht, weil beide schon über längere Zeit mit unterschiedlichen Methoden zu dieser Gleichung forschen. Das Stokesproblem ist der lineare Anteil der Navier-Stokes Gleichungen, dem klassischen Modell für Strömungen. Sie haben eine gewisse Faszination, da sie einfach genug erscheinen, um sie in ihrer Struktur sehr eingehend verstehen zu können, zeigen aber auch immer wieder, dass man sie nicht unterschätzen darf in ihrer Komplexität. Peers Interesse wurde zu Beginn seiner Zeit in Karlsruhe durch Matthias Hieber geweckt, der inzwischen an der TU Darmstadt tätig ist. Es zeigte sich seit damals als sehr aktives Forschungsgebiet, weshalb er auch immer wieder neu zu diesen Fragestellungen zurückgekehrt ist. Mit den klassischen Randbedingungen (konkret, wenn auf dem Rand vorgeschrieben wird, dass die Lösung dort verschwindet = homogene Dirichletbedingung) ist das Stokesproblem auffassbar als Laplaceoperator, der auf Räumen mit divergenzfreien Vektorfeldern agiert. Der Laplaceoperator ist sehr gut verstanden und die Einschränkung auf den abgeschlossenen Unterraum der Vektorfelder mit der Eigenschaft, dass ihre Divergenz den Wert 0 ergibt, lässt sich mit einer Orthogonalprojektion - der Helmholtzprojektion - beschreiben. Im Hilbertraumfall, d.h. wenn die Räume auf einer L^2-Struktur basieren und der Raum deshalb auch ein Skalarprodukt hat, weiß man, dass diese Projektion immer existiert und gute Eigenschaften hat. Für andere Räume ohne diese Struktur (z.B. -basiert für q nicht 2) hängt die Antwort auf die Frage, für welche q die Projektion existiert, von der Geometrie des Gebietes ab. Für beschränkte Gebiete geht vor allem die Glattheit des Randes ein. Das spiegelt sich auch auf der Seite des Laplaceproblems, wo die Regularität im Innern des Gebietes relativ elementar gezeigt werden kann, aber in der Nähe des Randes und auf dem Rand gehen in die Argumente direkt die Regularität des Randes ein. Mathematisch wird das Gebiet dabei mit Kreisen überdeckt und mit Hilfe einer sogenannten Zerlegung der Eins anschließend die Lösung für das ganze Gebiet zusammengesetzt. Für die Kreise, die ganz im Innern des Gebietes liegen, wird die Lösung auf den ganzen Raum mit dem Wert 0 fortgesetzt, weil die Behandlung des ganzen Raumes sehr einfach ist. Für Kreise am Rand, wird der Rand lokal glatt gebogen zu einer geraden Linie und (ebenfalls nach Fortsetzung mit 0) ein Halbraum-Problem gelöst. Natürlich liegt es in der Glattheit des Randes, ob das "gerade biegen" nur kleine Fehlerterme erzeugt, die sich "verstecken" lassen oder ob das nicht funktioniert. Für einen Rand, der lokal durch zweimal differenzierbare Funktion dargestellt werden kann, funktioniert diese Technik gut. Für Gebiete, die einen Rand haben, der lokal durch Lipschitzstetige Funktionen darstellbar ist, werden z.B. Randintegraldarstellungen direkt untersucht. Dort existiert die Helmholtzzerlegung für alle q im Intervall (wobei vom Gebiet abhängt). Durch die kleinen Fehlerterme, die in der Technik entstehen, wird es auch nötig, die Gleichung für die Divergenz zu untersuchen, wo keine 0 sondern eine beliebige Funktion (natürlich mit den entsprechenden Regularitätseigenschaften) als rechte Seite erlaubt ist. Ein Begriff, der eine wichtige Eigenschaft von partiellen Differentialgleichungen beschreibt, ist der der maximalen Regularität. Einfach ausgedrückt heißt das, wenn ich die rechte Seite in einem Raum vorgebe, ist die Lösung genau so viel regulärer, dass nach Anwendung des Differentialoperators das Ergebnis die Regularität der rechten Seite hat. Für das Laplaceproblem wäre also die Lösung v für jedes vorgegebene f so, dass und f im gleichen Raum sind. Diese Eigenschaft ist z.B. wichtig, wenn man bei nichtlinearen Problemen mit Hilfe von Fixpunktsätzen arbeitet, also z.B. den Operators iterativ anwenden muss. Dann sichert die maximale Regularität, dass man immer im richtigen Raum landet, um den Operator erneut anwenden zu können. Im Zusammenhang mit der Frage der maximalen Regularität hat sich der -Kalkül als sehr nützlich erwiesen. Ein anderer Zugang wählt statt der Operatorformulierung die schwache Formulierung und arbeitet mit Bilinearformen und Ergebnissen der Funktionalanalysis. Hier kann man vergleichsweise wenig abstrakt und in diesem Sinn elementar auch viel für das Stokes- und das Navier-Stokes Problem zeigen. Es gibt ein vorbildliches Buch von Hermann Sohr dazu. Literatur und weiterführende Informationen M. Geißert, P.C. Kunstmann: Weak Neumann implies H^infty for Stokes, Journal Math. Soc. Japan 67 (no. 1), 183-193, 2015. P.C. Kunstmann: Navier-Stokes equations on unbounded domains with rough initial data, Czechoslovak Math. J. 60(135) no. 2, 297–313, 2010. H. Sohr: The Navier-Stokes Equations. An Elementary Functional Analytic Approach Birkhäuser, 2001. M. Cannone: Ondelettes, Paraproduits et Navier-stokes, Diderot Editeur, 1995. G. Thäter, H. Sohr: Imaginary powers of second order differential operators and $L^q$ -Helmholtz decomposition in the infinite cylinder, Mathematische Annalen 311(3):577-602, 1998. P.C. Kunstmann, L. Weis: Maximal L_p-regularity for parabolic equations, Fourier multiplier theorems and H^infty-calculus, in Functional Analytic Methods for Evolution Equations (eds. M. Iannelli, R. Nagel and S. Piazzera), Springer Lecture Notes 1855, 65-311, 2004. P.C. Kunstmann, L. Weis: New criteria for the H^infty-calculus and the Stokes operator on bounded Lipschitz domains, Journal of Evolution Equations, March 2017, Volume 17, Issue 1, pp 387-409, 2017. G.P. Galdi: An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations. Vol. I. Linearized steady problems. Springer Tracts in Natural Philosophy, 38. Springer-Verlag, New York, 1994. Podcasts J. Babutzka: Helmholtzzerlegung, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 85, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. M. Steinhauer: Reguläre Strömungen, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 113, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.

Willkommen zu einer weiteren Folge von Physik in 2 Minuten, mein Name ist Nils Andresen. Ich habe eine Frage von Marc geschickt bekommen. Er würde gerne wissen, was Vektoren und Vektorenfelder sind. Vektoren sind das Gegenteil von Skalaren. Skalare Größen sind zum Beispiel Temperatur und Masse. Sie sind physikalische Größen und sind richtungsunabhängig. Im Gegensatz dazu gibt ein Vektor immer eine bestimmte Richtung vor. Man kann sich also schon vorstellen, was ein gutes Beispiel für eine vektorielle Größe ist: Die Geschwindigkeit. Eine Geschwindigkeit ist, verglichen mit beispielsweise der Masse, nicht einfach nur eine Größenangabe, sie hat immer auch eine Richtung. Ein Auto fährt zum Beispiel mit der Geschwindigkeit v (beispielsweise 200 km/h) über eine Autobahn. Dabei bewegt es sich in eine bestimmte Richtung, es handelt sich also um einen Vektor. Um dies zu verdeutlichen zeichnet man einen Pfeil nach rechts über das v. So kann man alle Vektoren kennzeichnen. In Zeichnungen kann man Vektorpfeile verwenden um durch die Richtung des Pfeils, logisch, die Richtung des Vektors, aber auch um durch seine Länge die Höhe seines Betrags, in unserem Beispiel die Geschwindigkeit des Autos, anzugeben. Je länger also ein Vektorpfeil ist, desto höher ist auch sein Betrag. Würden wir jetzt nicht nur ein Auto auf der Autbahn betrachten, sondern alle, die gerade unterwegs sind und jedem Einzelnen einen Vektorpfeil zuordnen, so erhielten wir ein so genanntes Vektorfeld. Ein bekanntes Beispiel für Vektorfelder sind Windkarten im Wetterbericht. Auf diesen sind viele Pfeile die die Richtung des Windes an genau dieser Stelle angeben, gleichzeitig aber auch durch ihre Größe die Windgeschwindigkeit repräsentieren. Schön, dass du dieses Mal dabei warst! Wenn du auch Fragen hast, dann kannst du mir direkt eine Mail an physik@in2minuten.com schicken, ich werde sie so schnell wie möglich beantworten. Weitere Infos findest du auch im Internet unter in2minuten.com.

Die nichtkommutative Geometrie stellt den ältesten Zugang zur Regularisierung von Ultraviolettdivergenzen der Punktwechselwirkungen in der Stöhrungstheorie dar. Dieser Zugang ist eine Verallgemeinerung der Quantenmechanik. Die Regularisierung erfolgt durch nichtverschwindende Unschärferelationen, die sich aus der neu eingeführten Nichtkommutativität der Ortsoperatoren ergibt. Zusätzlich ist das Ortseigenwertspektrum quantisiert - der messbare Raum erhält eine diskrete Struktur. Diese wird physikalisch als gravitativer Hochenergieeffekt auf der Planck-Skala verstanden. Der Bruch der Poincaré-Symmetrie durch nichkommutative Ortsoperatoren stellt die zentrale technische Problematik der nichtkommutativen Geometrie dar. Die mathematische Handhabung dieser Problemstellung ist aufwendig und wird im mathematischen Fachgebiet der Quantengruppen behandelt. Die mathematische Entwicklung hat sich dabei teilweise von den Bedürfnissen der Physik entfernt. Diese Doktorarbeit leistet einen Betrag dazu, Quantengruppen für die Anforderungen der Quantenfeldtheorie besser zugänglich zu machen. Zu diesem Zweck wird im Rahmen dieser Arbeit die Quantisierung der Poincaré-Algebra für nichtkommutative Räume mit kanonischen Kommutatorrelationen berechnet. Diese Räume sind äusserst populär unter Feldtheoretikern und verfügten bisher nur über Translationsinvarianz. Die Deformationen werden über einen notwendigen Satz von Bedingungen und einem allgemeinen Ansatz für die Lorentz-Generatoren bestimmt. Es wird eine zweiparametrige Schar von äquivalenten aber nichttrivialen Deformationen der Poincaré-Algebra erhalten. Die vollständige Hopf-Struktur wird berechnet und bewiesen. Casimir-Operatoren und Raumzeitinvarianten werden bestimmt. Desweiteren wird ein allgemeines Quantisierungsverfahren entwickelt, in dem die universelle Einhüllende von Matrix-Darstellungen von Lie-Algebren in eine eigens konstruierte Hopf-Algebra von Vektorfeldern als Unteralgebra eingebettet wird. Die unter Physikern populären Sternprodukte können damit generell zur Twist-Quantisierung von Lie-Algebren verwendet werden. Da die Hopf-Algebra der Vektorfelder grösser ist als die universelle Einhüllende der Lie-Algebra, sind allgemeinere Deformationen möglich als bisher. Dieses Verfahren wird weiterhin auf die Heisenbergalgebra mit Minkowski-Signatur angewendet. Dadurch erhält man eine fundamentale Verallgemeinerung der Quantenmechanik, motiviert als gravitativer Hochenergieeffekt. Nichtkommutativität wird dadurch in Abhängigkeit von Energie und Impuls gesetzt. Technisch wird dazu das Quantisierungsverfahren von Weyl und Moyal formalisiert. Die Mehrfachanwendung von Twists wird eingeführt.

Feldtheorien auf nichtkommutativen (NC) Raeumen werden untersucht als realistische Erweiterungen des Standardmodells der Elementarteilchenphysik. Vor allem werden zwei Modelle mit nicht vertauschenden operatorwertigen Koordinaten betrachtet: Kanonisch NC Raeume und der kappa-deformierte Raum. Diese NC Raeume werden auf gewoehnlichen Funktionen durch Sternprodukte dargestellt. Die deformierte Multiplikation erzwingt, dass in einer Eichtheorie auf einem NC Raum das Eichpotential nicht Werte in einer Lie Algebra annimmt, sondern in deren Einhuellenden Algebra. Diese NC Eichtheorie kann jedoch so formuliert werden, dass die Freiheitsgrade mit denen der kommutativen Eichtheorie uebereinstimmen. Somit kann die Eichtheorie auf der Basis jeder Lie Algebra definiert werden, sie wird rein algebraisch aus einem Konsistenzprinzip konstruiert und hier aufgefaechert in der Einhuellenden Algebra zur zweiten Ordnung in theta berechnet. Der Zusammenhang mit der Seiberg-Witten-Abbildung der Stringtheorie wird ausfuehrlich diskutiert, ebenso Auswirkungen der Freiheiten dieser Konstruktion fuer physikalische Theorien. Dieser Ansatz der Auffaecherung in theta versteht sich als effektive Theorie. Daher wird die Quantenfeldtheorie des Standardmodells zwar nicht im Ultravioletten abgeschirmt, das in der NC Feldtheorie notorische UV-IR Problem wird aber a priori umgangen. Der kappa-deformierte Raum ist ein NC Raum mit einer deformierten Symmetriestruktur. Diese Symmetrie wird durch eine Hopfalgebra beschrieben und deren Eigenschaften werden hier aus der Konsistenz mit den NC Vertauschungsbeziehungen hergeleitet. Ableitungs-operatoren werden ausschoepfend diskutiert, ebenso algebraische Vektorfelder und zwei verschiedene Definitionen von Differentialformen. Neu ist die Einf"uhrung eines NC Differentialkalkuels mit genau n Einsformen in n Dimensionen. Alle abstrakt definierten Groessen werden auf gewoehnlichen Funktionen durch ableitungswertige Operatoren dargestellt. Es werden Fortschritte erzielt bei der Definition eines eichinvarianten Integrals ueber dem kappa-deformierten Raum, das zugleich invariant unter der deformierten Symmetrie ist. Abschliessend wird die Eichtheorie fuer den kappa-deformierten Raum konstruiert, aufgefaechert im Deformationsparameter bis zur zweiten Ordnung. Lagrangefunktionen und Wirkungen werden berechnet. Eichfelder sind fuer Raeume mit deformierter Symmetrie ableitungswertig und koppeln nicht-trivial mit anderen Feldern. Diese Modelle sagen keine neuen Teilchen vorher, sondern Wechselwirkungs-Vertices und fuer den kappa-deformierten Fall auch neue Propagatoren. Die explizite Berechnung dieser Theoriefuer das Standardmodell kann zu messbaren Korrekturen fuehren, z.B. zu im Standardmodell verbotenen Zerfaellen.