Podcasts about biegesteifigkeit

Wie wirkt sich die Biegesteifigkeit von Klaviersaiten auf die Stimmung aus? Dieser Frage ist Niels Ranosch nachgegangen und erklärt uns im Gespräch mit Gudrun Thäter seine Ergebnisse. Das Schwingen von Klaviersaiten wird oft mit mit der Wellengleichung modelliert und simuliert; die Annahme ist hier, dass die Saite unendlich dünn ist. Betrachtet man die Saite jedoch mit realistischer Querschnittsfläche, so treten durch Dehnung und Stauchung weitere Kräfte im Material auf, und man muss in einem erweiterten Modell gerade für dicke oder kurze Saiten die Biegesteifigkeit der Saiten berücksichtigen. Die Wellengleichung ist eine partielle Differentialgleichung, die die Auslenkung der Saite mit zweiten Ableitungen im Raum und Zeit beschreibt. Zur Erweiterung des Modells wurde die Saite in einzelne Teilfasern aufgeteilt, für die jeweils einzeln die Biegesteifigkeit berücksichtigt wurde. Beim Übergang zu unendliche dünnen Teilfasern erhält man eine erweiterte Differentialgleichung, in der nun auch Raumableitungen vierter Ordnung auftreten. Bei der Lösung des erweiterten Modells ergibt sich nun, dass die Obertöne nicht perfekte Vielfache des Grundtons sind, und daher bei genauer Stimmung des Grundtons nicht harmonisch zu höheren Tönen wären. Daher werden die Grundtöne der Saiten absichtlich leicht verstimmt, damit die Obertöne akzeptabel zu höheren Tönen passen. Ein weiteres Problem für die Harmonie auf dem Klavier liegt im Quintenzirkel oder am Pythagoreischen Komma: Grundsätzlich kann man nicht gleichzeitig Quinten mit Frequenzverhältnis 3/2 und Oktaven mit Frequenzverhältnis 2 auf einem Klavier perfekt stimmen; man kann durch Multiplikation mit 3/2 kein Vielfaches von 2 erreichen. Nach 12 Quinten kommt man dem Ton nach 7 Oktaven sehr nahe, und dies wurde als Grundlage für das Klavier mit 12 Tasten pro Oktave gewählt. Den Fehler versucht man dann mit unterschiedlichen Stimmungen irgendwie erträglich zu machen, wie mit der heutzutage gängigen gleichstufigen Stimmung. Literatur und weiterführende Informationen Gareth Loy: Musimathics, MIT Press, 2007. S. M. Han, H. Benaroya, T. Wei: Dynamics of transversely vibrating beams using four engineering theories, Journal of sound and vibration 225.5: 935-988, 1999.

Es gibt klinische Hinweise, dass die Frakturheilung bei polytraumatisierten Patienten gestört ist. Eine der Ursachen könnte die posttraumatische systemische Inflammation darstellen. Das Thoraxtrauma ist eines der häufigsten und zugleich kritischsten Begleitverletzungen, da es verglichen mit anderen Verletzungen zu einer stärkeren systemischen Inflammation führt. Diese systemische Inflammation ist gekennzeichnet durch die Freisetzung von pro inflammatorischen Zytokinen, einer starken Aktivierung der Komplementkaskade und einer dadurch hervorgerufenen Überaktivierung von Immunzellen, was zu einer Schädigung von Organen führt, die initial nicht vom Trauma betroffen waren. Daher stellte sich in dieser Arbeit die Frage, ob die posttraumatische systemische Inflammation der Grund für die klinisch beobachtete Frakturheilungsverzögerung bei polytraumatisierten Patienten darstellt. Des Weiteren wurde der therapeutische Ansatz verfolgt, die Frakturheilungsstörung nach schwerem Trauma durch die Immunmodulation der systemischen Inflammation mittels eines spezifischen C5aR Antagonisten aufzuheben. In Ratten wurde eine Femurosteotomie erzeugt und mittels eines Fixateurs externe stabilisiert. Die Hälfte der Tiere erhielt ein stumpfes Thoraxtrauma. Den Tieren wurde postoperativ Blut entnommen, um die systemische Inflammation nachzuweisen. Um die Frakturheilung nach Thoraxtrauma zu untersuchen, wurden die Kalli nach einer Heilungszeit von 35 Tagen biomechanisch sowie strukturell durch mikrocomputertomographische Messungen und Histomorphometrie analysiert. Um die C5a-vermittelte systemische Inflammation zu inhibieren und somit die Frakturheilung zu verbessern, erhielt eine weitere Tiergruppe unmittelbar und 12 h nach dem Thoraxtrauma einen spezifischen C5aR Antagonisten. Diese Arbeit konnte zeigen, dass das stumpfe Thoraxtrauma und die resultierende systemische Inflammation zu einer drastischen Frakturheilungsverzögerung führte, was durch eine signifikant verminderte Biegesteifigkeit in Verbindung mit einem signifikant kleineren Kallus mit schlechterer Knochenstruktur und weniger neugebildetem Knochen im Frakturspalt gezeigt werden konnte. Die Immunmodulation mittels eines C5aR-Antagonisten konnte den negativen Effekt des stumpfen Thoraxtraumas auf die Frakturheilung vollständig aufheben, möglicherweise durch die Normalisierung der Anzahl und/oder Funktion von Immun- und Knochenzellen lokal im Frakturheilungsgebiet. C5a stellt daher ein therapeutisches Ziel zur Vermeidung von Frakturheilungsstörungen polytraumatisierter Patienten dar.

Diese Arbeit besch\"aftigt sich mit der Bestimmung elastischer Konstanten in amorphen Materialien. Im Mittelpunkt steht die Elastizit\"at heterogener Netzwerke aus steifen, stabartigen Polymeren. Diese Netzwerke spielen eine wichtige Rolle in der Zell-Biologie, z.B. in der Form des Zytoskeletts, welchem die Zelle einen Gro\ss teil ihrer mechanischen und dynamischen Eigenschaften verdankt. Bei der Bestimmung der elastischen Konstanten im Rahmen der Elastizit\"atstheorie erh\"alt der Begriff der `Affinit\"at'' eine besondere Bedeutung, da er das Deformationsfeld \emph{homogener} elastischer Systeme charakterisiert. Im Gegensatz dazu ist es in den hier interessierenden \emph{heterogenen} Materialsystemen gerade die Abwesenheit dieser affinen Deformationen, die im Mittelpunkt des Interesses steht. Im Verlauf der Arbeit wird deutlich, wie Nichtaffinit\"at aus einem Zusammenspiel geometrischer Eigenschaften der Mikrostruktur und mechanischer Eigenschaften der Einzelpolymere entstehen kann. Durch die Kombination von Computersimulation und analytischer Beschreibung werden wichtige Aspekte bez\"uglich der Rolle der heterogenen Mikrostruktur in der Ausbildung makroskopischer Elastizit\"at gekl\"art. Der Ber\"ucksichtigung nicht-affiner Deformationen kommt dabei au{\ss}erordentliche Bedeutung bei der pr\"azisen Bestimmung makroskopischer elastischer Konstanten zu. Es zeigt sich, dass die Struktur der Polymer-Netzwerke im Allgemeinen durch zwei L\"angenskalen beschrieben werden muss. Neben der mittleren Maschenweite $a$ tritt eine mesoskopische L\"angenskala $l_f\gg a$ auf, die aus der stabartigen Form der Polymere folgt. Es wird gezeigt, dass diese ``Faserl\"ange'' -- und nicht die Maschenweite -- die Rolle der Einheitszelle des Polymernetzwerkes spielt. Neben dieser geometrischen Komponente spielen die elastischen Eigenschaften der Einzelpolymere eine wesentliche Rolle f\"ur die makroskopische Elastizit\"at. Diese orientieren sich an den bekannten Kraft-Ausdehnungs-Relationen steifer Polymere und k\"onnen mit Hilfe des ``worm-like chain'' Modells berechnet werden. Dar\"uber hinaus wird ein neues ``worm-like bundle'' Modell entwickelt, das vergleichbare Aussagen zu statistischen und mechanischen Eigenschaften von Polymer-\emph{B\"undeln} erlaubt. Der erste Teil der Arbeit besch\"aftigt sich mit der athermischen Elastizit\"at des Netzwerkes, d.h. der entropische Anteil der Kraft-Ausdehnungs-Relation wird vernachl\"assigt. Eine selbst-konsistente `effective-medium'' Theorie wird entwickelt, die auf der Annahme beruht, dass die Filamente sich wie \emph{inextensible}, biegesteife St\"abe verhalten. Die Annahme der Inextensibilit\"at kann mit der anisotropen Elastizit\"at steifer Polymere begr\"undet werden, deren Biegesteifigkeit, $\kperp$, im Allgemeinen sehr viel kleiner ist, als deren Strecksteifigkeit, $\kpar \gg \kperp$. Das sich ergebende nicht-affine Deformationsfeld kann explizit konstruiert werden (``non-affine floppy modes'') und erlaubt eine Berechnung der elastischen Konstanten der Netzwerke, welche mit den Ergebnissen fr\"uherer Simulationen \"ubereinstimmen. Desweiteren erlaubt die Theorie, in Verbindung mit dem worm-like bundle Modell, eine Erkl\"arung der rheologischen Eigenschaften eines in-vitro Modellsystems aus verkn\"upften Polymerb\"undeln. Der zweite Teil der Arbeit diskutiert thermische Effekte, indem die entropische Strecksteifigkeit der Polymere in der Modellierung ber\"ucksichtigt wird. Es besteht ein charakteristischer Unterschied zwischen diesem entropischen Beitrag zur Strecksteifigkeit, $\kpar$, und einem energetischen Beitrag, $k_s$, der sich z.B. aus der Streckung des Polymer-R\"uckgrats ergibt. Dieser Unterschied betrifft die Abh\"angigkeit von der L\"ange $l$ des betrachteten Polymersegments. Die starke Abh\"angigkeit $\kpar\sim l^{-4}$ (im Vergleich zu $k_s\sim l^{-1}$) f\"uhrt dazu, dass thermische Netzwerke steifer Polymere eine starke Sensitivit\"at f\"ur strukturelle Unordnung aufweisen, die in athermischen Netzwerken nicht vorhanden ist. Im numerischen Modellsystem \"au{\ss}ert sich dieser Effekt durch die Existenz einer Nichtaffinit\"ats-L\"ange und dazugeh\"origer anomaler Exponenten der elastischen Konstanten. Ein Skalenargument wird entwickelt, das den Zusammenhang aufzeigt zwischen Heterogenit\"at des Netzwerks (hier charakterisiert durch die Verteilung $P(l)$) und elastischer Eigenschaften des Einzelpolymers ($\kpar(l)$).