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Diesmal traf sich Gudrun zum Gespräch mit Anke Pohl, die zur Zeit am Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn arbeitet. Das Thema der Unterhaltung ist Mathematisches Quantenchaos. Anke Pohl untersucht nämlich, welchen Zusammenhang die geometrischen und spektralen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigkeiten haben. Historisch ist das Interesse an diesen Eigenschaften und ihren Wechselwirkungen bei physikalischen Betrachtungen entstanden, wie z.B. bei den Studien der Schwingungen einer Membran. Im Jahre 1910 vermuteten Lorentz und Sommerfeld, dass der Flächeninhalt einer Membran (die ein Beispiel für eine Riemannsche Mannigfaltigkeit ist) durch die (Ober-)töne dieser Membran (die durch die Eigenwerte eines gewissen Operators bestimmt sind, der die Schwingungen der Membran beschreibt) bestimmt sind. Bereits kurze Zeit später gelang es Hermann Weyl, diese Vermutung mathematisch zu beweisen. Im Laufe der Zeit ist die Untersuchung solcher Zusammenhänge zu einem Teilgebiet der Mathematik und Mathematischen Physik angewachsen, welches sowohl hinsichtlich Motivation als auch in Bezug auf Methoden eng mit diversen anderen Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. der Geometrie, der Zahlentheorie und der Analysis, zusammenhängt. Und auch heute noch liefern physikalische Erkenntnisse und Intuitionen gute Heuristiken bzw. sind wegweisend für mathematische Ansätze. Aktuelle große Vermutungen mit sowohl mathematischer als auch physikalischer Motivation sind beispielsweise die Rudnick-Sarnak Vermutung über eindeutige Quantenergodizität auf gewissen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeiten (Gleichverteilung von Eigenfunktionen im Mittel bei wachsendem Eigenwert; für den Beweis von eindeutiger arithmetischer Quantenergodizität wurde E. Lindenstrauss 2010 eine Fieldsmedaille verliehen), die Phillips-Sarnak Vermutung über die (Nicht-)Existenz von quadrat-integrierbaren Eigenfunktionen auf gewissen nicht-arithmetischen Mannigfaltigkeiten, die Sarnaksche Vermutung über das Größenwachstum von Eigenfunktionen bei wachsendem Eigenwert, oder die Sjöstrandsche Vermutung über die asymptotische Anzahl von Resonanzen in Streifen bei hyperbolischen Flächen unendlichen Inhalts. Details und weiterführende Informationen zu diesen und anderen Vermutungen sind beispielsweise in den Übersichtsartikel in den untenstehenden Referenzen enthalten. Anke Pohls befasst sich zur Zeit mit bestimmten Flüssen, den sogenannten geodätischen Flüssen, auf einer speziellen Klasse von Riemannschen Mannigfaltigkeiten. Als erste, recht elementare, Beispiele für Mannigfaltigkeiten kann man sich zunächst Oberflächen vorstellen. Wenn man auf ihnen Größen definiert hat, die zum Messen von Abständen und Winkel dienen, werden sie Riemannsche Mannigfaltigkeit genannt. Wie bei den oben genannten Membranen sind Geodäten. Mathematisch werden die Schwingungen als Lösungen des Laplaceoperators in der zugrundeliegenden Geometrie beschrieben bzw. mit Hilfe der Eigenwerte und Eigenfunktionen des Operators. Aus der Anschauung ist klar, dass die Schwingungen von den geometrischen Eigenschaften der Fläche abhängen. Wenn z.B. die Fläche oder Membran eingerissen ist oder ein Loch hat, klingt sie anders als wenn sie geschlossen ist bzw. gut eingespannt ist. Für kompakte Flächen ist bekannt, dass es unendlich viele solcher Eigenfunktionen gibt. Je nach Grad der Offenheit (also z.B. eine Fläche mit Riss oder Loch) ist es jedoch schwierig zu sagen, wie sich die Schar der Lösungen verändert. Ein interessantes Beispiel wäre z.B. zu betrachten, dass an einer Stelle die eingespannte Fläche im Unendlichen verankert ist, aber das darunterliegende Volumen endlich ist. Vorstellen kann man sich das etwa so, dass man an dieser Stelle die Fläche samt ihren Abständen unendlich weit zieht. Man fragt sich dann, ob eine Welle auf der Fläche auch diese Singularität überlebt. Ein methodischer Ansatz, solche und andere Fragen zu studieren, ist es, Beziehungen zu anderen Objekten, vor allem rein geometrischen, zu finden. Selbergs Beweis zur Unendlichkeit der Anzahl der Eigenfunktionen auf gewissen hyperbolischen Flächen zeigt zunächst, dass die Eigenwerte der Eigenfunktionen (spektrale Objekte) durch die Längen der geschlossenen Geodäten (geometrische Objekte) bestimmt sind. Genauer, sie sind unter den Nullstellen einer generierenden Zetafunktion für das Längenspektrum der Geodäten. Ausnutzung zusätzlicher Eigenschaften der Flächen, wie z.B. Kompaktheit oder zusätzliche Symmetrien, erlaubt dann (manchmal) zu bestimmen, ob Nullstellen existieren und ob sie von Eigenwerten stammen. Anke Pohl schaut sich die Geodäten auf bestimmten hyperbolischen Flächen an, diskretisiert sie und findet ein assoziiertes diskretes dynamisches System auf dem reellen Zahlenstrahl. Für dieses diskrete System sucht sie gewisse invariante Größen, z. B. invariante Maße oder Dichten. Genauer fragt sie nach Eigenfunktionen des assoziierten Transferoperators mit gewissen Parametern (inversen Temperaturen). An dieser Stelle sieht man wieder einen Einfluss aus der Physik: Transferoperatoren entstammen dem thermodynamischen Formalismus der statistischen Mechanik. Sie zeigt dann, dass die Eigenfunktionen dieser Transferoperatoren bijektiv zu den L_2 Eigenfunktionen des Laplaceoperators der hyperbolischen Flächen sind. Da die Eigenfunktionen der Transferoperatoren alleine durch die geschlossenen Geodäten bestimmt sind und somit also geometrische Objekte der Fläche sind, stellt auch sie eine Beziehung zwischen gewissen geometrischen und gewissen spektralen Objekten dieser Flächen her. Zum Abschluss noch eine kurze Erklärung zur Bezeichnung "Quantenchaos" für dieses Themengebiet: Der Laplaceoperator ist gerade, bis auf Skalierung, der Schrödingeroperator in der Physik. Quantenmechanisch werden seine L_2 Eigenfunktionen als gebundene Zustände verstanden. Das zugehörige Objekt in der klassischen Mechanik ist gerade das Hamiltonsche Vektorfeld des geodätischen Flusses, d. h. die Bildungsvorschrift für die Geodäten oder die Bewegungsvorschrift für Kugeln auf der Fläche. Das Korrespondenzprinzip der Physik besagt nun, dass im Grenzfall (hier: Eigenwerte der Eigenfunktionen gehen gegen unendlich) die Gesetze der Quantenmechanik in die der klassischen Mechanik übergehen sollten. Hier fragt man also gerade danach, wie die spektralen und die geometrischen Eigenschaften Riemannscher Mannigfaltigen wechselwirken. Daraus ergibt sich der Bestandteil "Quanten" in "Quantenchaos". Der Bestandteil "Chaos" ist wie folgt motiviert: Bei den in diesem Gebiet studierten Flüssen verhalten sich Bahnen, die sehr nah beieinander starten, typischerweise nach recht kurzer Zeit sehr unterschiedlich. Mit anderen Worten, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen wirken sich typischerweise sehr stark aus, d.h., das System ist in gewisser Weise chaotisch. Frau Pohl hat Mathematik an der TU Clausthal studiert, an der Universität Paderborn promoviert und habilitiert gerade an der Universität Göttingen. Literatur und Zusatzinformationen William P. Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Mathematical Sciences Research Institute, 2002. A. Pohl: Symbolic dynamics for the geodesic flow on locally symmetric good orbifolds of rank one, Dissertation Uni Paderborn, 2009. A.Pohl: A dynamical approach to Maass cusp forms, arXiv preprint arXiv:1208.6178, 2012. M. Möller und A. Pohl: Period functions for Hecke triangle groups, and the Selberg zeta function as a Fredholm determinant, Ergodic Theory and Dynamical Systems 33.01: 247-283, 2013. P. Sarnak: Recent progress on the quantum unique ergodicity conjecture, Bull. Amer. Math. Soc 48: 211-228, 2012. S. Zelditch: Recent developments in mathematical quantum chaos, Current developments in mathematics 2009: 115-204, 2010.

Die vorliegende Arbeit behandelt die experimentell umsetzbare Implementierung von Molekularem Quantencomputing, wie es in der Arbeitsgruppe um R. de Vivie-Riedle entwickelt wurde. Dieses Konzept beruht auf Laser-vermittelter Kontrolle intramolekularer Schwingungsdynamik. So fungieren ausgewählte Normalmoden eines polyatomaren Moleküls als Quanteninformationseinheiten (Qubits), wobei die Information in den Schwingungseigenzuständen kodiert wird. Diese lässt sich durch kurze geformte infrarote Lichtpulse, die als logische Gatter operieren, kontrolliert manipulieren. Für die Prozessoreinheit wird Mangan-pentacarbonyl-bromid (MnBr(CO)5) gewählt und ein Zwei-Qubit-System mit den beiden stärksten IR-aktiven CO-Streckschwingungen (2000 cm^{-1} bzw. 2050 cm^{-1}) definiert. In den quantenmechanischen Untersuchungen wird das System durch seine Schwingungseigenfunktionen repräsentiert. Das zugrunde liegende Modell ergibt sich durch sorgfältige Anpassung an neueste spektroskopische Daten des MnBr(CO)5. Ein dafür im Rahmen dieser Arbeit entwickeltes komplexes Optimierungsverfahren ermöglicht die effiziente Konstruktion des Modells. Einen Schwerpunkt bildet die Berechnung und Untersuchung eines universellen Satzes globaler Quantengatter bestehend aus den Operationen NOT, CNOT, Π und Hadamard. Diese werden mit einem "multi-target-Optimal-Control"-Algorithmus optimiert, der die simultane Optimierung der relevanten Übergänge des jeweiligen Gatters unter Berücksichtigung aller berechneten Eigenfunktionen erlaubt. Schalteffizienz und Struktur des resultierenden Laserfelds hängen dabei maßgeblich von der gewählten Pulsdauer ab. Durch die individuelle Wahl einer günstigen Dauer (5 ps - 11 ps), die sich nach den spektroskopischen Anforderungen der logischen Operationen richtet, ergeben sich erstmals für alle Gatter hocheffiziente und einfach strukturierte Pulse. Besondere Beachtung findet in dieser Arbeit die Gewährleistung experimenteller Umsetzbarkeit des Molekularen Quantencomputings. Untersuchungen zur Erzeugung der optimierten Pulse sind dabei von primärer Bedeutung. Pulszerlegung und die Berechnung von Maskenfunktionen zeigen, dass sich sowohl indirektes als auch direktes Pulsformen für die Generierung der Laserfelder eignen. Gegen dabei entstehende Abweichungen von der optimalen Pulsstruktur sind die Gatter robust. Um die Laser-Molekül-Wechselwirkung im Experiment zusätzlich zu steigern, können die Prozessoreinheiten fixiert und ausgerichtet werden. Dies lässt sich durch Immobilisierung in der Kristallstruktur eines Zeoliths erreichen, wie erste Rechnungen ergeben. Darüber hinaus wird die Relevanz potentieller Störungen des Qubitsystems wie Dissipation und interner Schwingungsumverteilung überprüft. Die Ergebnisse zeigen, dass das Qubitsystem einen nahezu dekohärenzfreien Raum für die Informationsverarbeitung bietet. Durch die sorgfältige Wahl einer geeigneten molekularen Spezies und die auf das Qubitsystem individuell abgestimmten Pulsdauern ist es gelungen, Molekulares Quantencomputing experimentell zugänglich mit hocheffizienten robusten Quantengattern zu implementieren.

Diese Dissertation hat sich mit dem Prozess der Implementierung numerischer Simulationen auf komplexe Plasmen auseinandergesetzt, aufbauend auf ein Set gekoppelter Partielle Differentialgleichungen. Die Dynamik komplexer Plasmen ist durch die Wechselwirkung ihrer unterschiedlichen Komponenten auf mikroskopischen und mesoskopischen Ebenen charakterisiert worden. Diese Wechselwirkungen resultieren in einer Mischung elektrodynamischer und strömungsdynamischer Effekte. Dieses Differentialgleichungssystem ist mit der Methode der finiten Elemente gelöst worden, die die Verkuppelung verschiedener physikalischer Phänomene in beschränkten Bereichen ermöglicht. Die Sturm-Liouville Theorie ist als mathematisches Gerüst verwendet worden, um Maxwellsche Gleichungen in beschränkten Hohlraumresonatoren mit inhomogenen Randbedingungen zu lösen. Die Profile der elektrischen Energiedichte sind kalkuliert worden, sowohl für den elektrostatischen Fall, als auch für die ersten sechs Eigenresonanzfrequenzen der elektromagnetischen Wellen. Es hat sich herausgestellt, dass die angelegte Hochfrequenz niedriger als die erste Eigenfrequenz der HF-Plasmakammer ist. Es hat sich erwiesen, dass sich die elektromagnetische Energie innerhalb der HF-Plasmakammer unter den Eigenfrequenzen aufspaltet, und dass die Rahmenbedingungen bestimmte Resonanzen erzeugen. Die Form und Verteilung dieser elektromagnetischen Energie korrelieren mit den Eigenfunktionen der respektiven Eigenresonanzfrequenzen. Um eine makroskopische Beschreibung der Dynamik komplexer Plasmen zu erreichen, ist die kinetische Theorie für Modellierung der Strömungsdynamik verwendet worden. Die Kopplung zu den elektromagnetischen Feldern ist auf der kinetischen Ebene durchgeführt worden. Dieses Herangehen überbrückt den Sprung von der mikroskopischen Beschreibung der Boltzmann Gleichung zu einer makroskopischen Beschreibung. Wir haben festgestellt, dass sowohl die dielektrischen Partikel als auch der Dielektrikumfluss einen “Elektrodruck” empfinden. Hohe Gradienten der elektrischen Energiedichte können die komplexen Plasmen zum Wirbeln bringen. Diese Herangehensweise ist neu, denn die gegenwärtige Theorie betrachtet das Neutralgas im Ruhezustand, dabei wird der Reibungswiderstand auf die komplexen Plasmen ausüben. Die beobachteten Wirbel in dem PK-3 Plus Experiment können durch die Stromlinien dieser Gradienten erklärt werden. Wir haben herausgefunden, dass der partikelfreie Raum in dem PK-3 Plus Experiment erklärt werden kann, wenn man sowohl die Elektrostatik als auch die erste Eigenresonanzfrequenz der elektrischen Energiedichte der HF-Plasmakammer berücksichtigt. Dies ist durch ein dreidimensionales Modell visualisiert worden. Dieses Model erklärt auch die Bildung sekundürer Räume, die durch die Einführung metallischer Tastkopfe in die HF-Plasmakammer hervorgebracht werden. Die Hypothese der elektrischen Energiedichte als Quelle der partikelfreien Räume kann durch die Trennung der Partikel in den Plasmakristall-Experimenten geklärt werden. Dielektrophoretische Kräfte stoßen Partikel mit höheren Permittivität (oder größere Partikel, falls alle aus demselben Material sind) in die Richtung der Regionen mit höherer elektrischer Energiedichte. Die Grenze zwischen Partikeln unterschiedlicher Permittivität (oder Größe) ist durch Isoflächen dieser Energiedichte geformt. Die Erklärung dieser Phänomene (die auf der Distribution elektrischer Energiedichte beruht) bietet einen neuen Standpunkt zur aktuellen Theorie, die auf der Reibungskraft der Ionenströmung basiert.