Podcasts about poussin

durée : 01:22:27 - Toute une vie - par : Pascale Lismonde - Découvrez Nicolas Poussin, né en 1594 et mort en 1665, à travers les récits d'experts de ses œuvres et celui de sa vie, fascinante, entre Paris et Rome. Poussin, considéré comme un maître du classicisme pour ses œuvres historiques et religieuses, influencées par l'Antiquité, se dévoile enfin. - réalisation : Josette Colin

Une nouvelle blague par jour à écouter et podcaster, grâce à Rire & Chansons

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Au programme de l'émission du 12 février : avec Sophie Roze, réalisatrice, et Pierre-Luc Granjon, réalisateur NOUVEAUTÉ DISCOGRAPHIQUE - chronique de Véronique Soulé - c'est au début 

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Rubrique:nouvelles Auteur: alfred-gragnon Lecture: Daniel LuttringerDurée: 59min Fichier: 41 Mo Résumé du livre audio: Une nouvelle policière mettant en scène l'inspecteur Grey face à l'emmanché commissaire Poussin, parue dans Ric et Rac le 13 mars 1940. Cet enregistrement est mis à disposition sous un contrat Creative Commons.

Tous les matins à 7h50 sur Chérie FM, Dimitri pose 3 questions sur l'actualité insolite ou légère des dernières 24 heures !

Tous les matins à 7h50 sur Chérie FM, Dimitri pose 3 questions sur l'actualité insolite ou légère des dernières 24 heures !

Un poussin picore dans la cour de la ferme, quand tout à coup un gland lui tomba sur la tête. Persuadé que le ciel est en train de lui tomber sur la tête, il décide d'aller prévenir le roi, entraînant au passage ses amis de la basse-cour. Avis aux oies blanches, pigeons et autres têtes de linotte qui sont bien souvent les dindons de la farce. Sous ses airs naïfs, ce conte est une profonde réflexion sur les fakes news, les « infaux » et les rumeurs… Mention légales : Vos données de connexion, dont votre adresse IP, sont traités par Radio Classique, responsable de traitement, sur la base de son intérêt légitime, par l'intermédiaire de son sous-traitant Ausha, à des fins de réalisation de statistiques agréées et de lutte contre la fraude. Ces données sont supprimées en temps réel pour la finalité statistique et sous cinq mois à compter de la collecte à des fins de lutte contre la fraude. Pour plus d'informations sur les traitements réalisés par Radio Classique et exercer vos droits, consultez notre Politique de confidentialité. Mention légales : Vos données de connexion, dont votre adresse IP, sont traités par Radio Classique, responsable de traitement, sur la base de son intérêt légitime, par l'intermédiaire de son sous-traitant Ausha, à des fins de réalisation de statistiques agréées et de lutte contre la fraude. Ces données sont supprimées en temps réel pour la finalité statistique et sous cinq mois à compter de la collecte à des fins de lutte contre la fraude. Pour plus d'informations sur les traitements réalisés par Radio Classique et exercer vos droits, consultez notre Politique de confidentialité.Hébergé par Ausha. Visitez ausha.co/politique-de-confidentialite pour plus d'informations.

Tout l'été, RTL et Gallimard Jeunesse vous proposent de plonger dans l'univers merveilleux de la série les "Drôles de petites bêtes" d'Antoon Krings. 21 millions d'exemplaires vendus, 73 albums et autant de petites bêtes, série traduite dans une vingtaine de langues. Une collection de livres déjà culte ! Antonin le Poussin a le rhume des foins, mais rester «couvé» au lit: quel ennui! Lui qui rêve de s'amuser au grand air! Et voilà justement une cane qui passe avec ses canetons, et surtout Gaston, un petit canard un peu traînard que le poussin connaît bien. Alors zou! Antonin court le rejoindre...

"Pro Specie Rara" promeut la conservation des espèces rares en Suisse. La fondation est dédiée à la préservation de la biodiversité agricole et horticole et donc, elle accompagne aussi la conservation des races d'animaux qui sont rares et menacées de disparition en Suisse. Il y a actuellement 3 sortes de lapin sur cette liste. Claudia Steinacker nous raconte pourquoi il est important de défendre leur existence. Les lapins, poules, chèvres et pigeons "Pro Specie Rara" sont encore exposés aujourdʹhui 5 mai, de 10h à 18h, dans le cadre de la Fête du Printemps, qui clôture lʹexpo "Poussin dʹAvril" de la Maison de la Rivière de Tolochenaz. Programme de la journée Visites guidées 11h et 13h30 : Les races menacées, quels enjeux pour le futur ? Avec Claudia Steinacker, ProSpecieRara 14h30 : visite guidée de l'exposition et des aquariums Animations pour les familles

In this episode, Lucie Cruz, Content Producer at Crafty Counsel, is joined by Richard Barnett, General Counsel at The National Gallery.Responsible for advising The Gallery on all regulatory and commercial matters, Richard has played a crucial role in facilitating the acquisition of Thomas Lawrence's “Red Boy” through a private treaty sale, as well as procuring works by Veronese, Pissarro, Poussin, and others.In this episode, Richard opens up about the considerations and negotiations involved in acquiring artworks. He also shares his work for The National Gallery's Bicentenary - celebrating 200 years of bringing people and paintings together.Join the Crafty Counsel Community to discover a space where in-house legal professionals can find joy, insight, and connection. Register for the Crafty Counsel Community for free.

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Découvrez les aventures de Poussin Ier, une BD signée Janry et Eric-Emmanuel Schmitt.

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Pauvre petit poussin ! Il croit que le ciel va lui tomber sur la tête à cause d'une noisette de rien du tout ! Vite, vite, il veut aller prévenir la reine et entraîne à sa suite une ribambelle d'animaux.Avec Mille et une histoires, découvre l'histoire du Moulin Magique. Et si cette histoire t'a plu, découvre le magazine Mille et une histoire, pour s'émerveiller chaque mois avec des contes du monde entier : https://www.fleuruspresse.com/magazines/pour-les-plus-petits/mille-et-une-histoiresLes contes Mille et une histoires sont issus du magazine éponyme édité par Fleurus Presse, marque du groupe Unique Heritage MédiaCrédits :Autrice : Karine-Marie AmiotIllustré par Volker TheinhardtVoix : Agathe Raymond CahuzacMusique, enregistrement & sound design : Léopold RoyUnique Heritage Media Hébergé par Acast. Visitez acast.com/privacy pour plus d'informations.

Pauvre petit poussin ! Il croit que le ciel va lui tomber sur la tête à cause d'une noisette de rien du tout ! Vite, vite, il veut aller prévenir la reine et entraîne à sa suite une ribambelle d'animaux.Avec Mille et une histoires, découvre l'histoire du Moulin Magique. Et si cette histoire t'a plu, découvre le magazine Mille et une histoire, pour s'émerveiller chaque mois avec des contes du monde entier : https://www.fleuruspresse.com/magazines/pour-les-plus-petits/mille-et-une-histoiresLes contes Mille et une histoires sont issus du magazine éponyme édité par Fleurus Presse, marque du groupe Unique Heritage MédiaCrédits :Autrice : Karine-Marie AmiotIllustré par Volker TheinhardtVoix : Agathe Raymond CahuzacMusique, enregistrement & sound design : Léopold RoyUnique Heritage Media Hébergé par Acast. Visitez acast.com/privacy pour plus d'informations.

Cet épisode vous est proposé gratuitement en partenariat avec ISpeakSpokeSpoken.com la plus grande communauté d'apprentissage de l'anglais en France sponsorise cet épisode. Recevez gratuitement votre challenge PDF pour vous (re)mettre à l'anglais en 4 semaines en suivant le lien créé pour vous : www.ispeakspokespoken.com/timeline À quoi donc ressemblerait notre temps si Rome n'avait été sauvée, après la bataille de Cannes en 216 av. J.-C., par un homme tombé dans l'oubli : Publius Cornelius Scipio. Surnommé l'Africain après sa victoire sur Hannibal à Zama, il occupe une place de premier plan parmi les héros de la République romaine. Bien loin de l'image idéalisée telle que l'imaginaient Poussin ou Mozart, le personnage eut une dimension plus sombre que la tradition a bien voulu le laisser paraître. Calculateur souvent, cruel parfois, retors, mais aussi visionnaire, charismatique, généreux et habile diplomate, cet homme qui transgressa nombre de règles de la République eut pourtant la témérité nécessaire pour la sauver de son pire ennemi. Il sut apprendre d'Hannibal la ruse pour mieux le vaincre sur son propre terrain. Précurseur d'un César, il modernisa l'armée romaine et ses tactiques. Philhellène, il introduisit plus qu'on ne le croit d'ordinaire la culture grecque dans une Rome encore conservatrice. Scipion donna également à la République les prémices d'une mainmise sur l'Espagne, l'Afrique et l'Asie, inaugurant de la sorte une romanisation qui tolérait les autres cultures à condition qu'elles se soumettent à Rome. Mais il connut une terrible chute, témoignage de l'ingratitude d'une patrie qui redoutait l'ombre même des rois. Au point que la postérité lui préféra souvent la renommée lumineuse de son farouche adversaire. Laurent Gohary est notre invité pour Xpresso

Bonne année à tous !!! Nous commençons avec notre épisode Coup de Coeur 2023 (ainsi que nos radis). Yougi, Bedu, Poussin et Mareez vous présente ce qu'ils ont aimés et moins aimés durant l'année 2023

durée : 00:13:26 - 9h- 10h A votre service par France Bleu Besançon

Ferdinand Bellermann salió del puerto de Hamburgo en mayo de 1842 y, mes y medio después, llegó a La Guaira cumpliendo así uno de sus deseos más preciados: conocer el nuevo mundo. Llegó estimulado por Alejandro de Humboldt, quien había venido al país entre 1799 y 1804 para realizar sus importantes expediciones científicas. Fue Humboldt, precisamente, quien intercedió ante el rey prusiano Federico Guillermo IV para que le otorgara la ayuda necesaria para realizar esta travesía, ya que en estos viajes científicos, era imprescindible la presencia de artistas para registrar e ilustrar la naturaleza. Bellermann poseía una sólida formación académica, pues, estudió con reconocidos paisajistas alemanes. Además de pintor, le interesaba la geología. Creció con el gusto por las excursiones, lo que desarrolló su interés por el paisaje, la botánica y, asimismo, el conocimiento de culturas extranjeras. Para un espíritu romántico como el de Bellermann, llegar a Venezuela fue el encuentro con la exuberancia tropical, algo que agudizó su sensibilidad hacia lo sublime. El paisaje venezolano estimuló sin duda esta percepción. En sus pinturas, vemos una naturaleza amplia, panorámica, envolvente. Esta emotividad la mantuvo también en sus ilustraciones botánicas que realizó de manera muy detallada. Mientras hacía sus recorridos por el país, tomaba notas y realizaba bocetos en dibujos y en óleos de pequeños formatos. Años después, en Berlín, retomó estas imágenes para pintarlas en versiones que consideraba definitivas. Si bien la mayoría de estas obras y bocetos quedaron en Alemania como retribución al compromiso adquirido con el rey Federico Guillermo IV, dos obras notables se encuentran en la Galería de Arte Nacional en Caracas: En el Orinoco, pintada en 1860, dieciséis años después de esta expedición, y Atardecer a orillas del río Manzanares, que pintó posteriormente en 1867. En ambas piezas la vegetación se muestra majestuosa, lo que le ha valido el apodo de “pintor de las selvas vírgenes”. En el Orinoco, vemos la imagen del río al atardecer. La ciudad de Angostura se encuentra al fondo. Las figuras humanas y los botes se ven reducidos ante la presencia poderosa de la naturaleza. La luz del atardecer lo inunda todo. Igual sucede en Atardecer a orillas del río Manzanares, obra en la que el sentimiento de “lo sublime” se manifiesta en la visión solitaria e imponente de la vegetación y el río. Ambas pinturas presentan, sin duda, una visión romántica de la naturaleza, lírica y hermosa. Algunos historiadores consideran erróneamente la obra de Bellermann como precursora del impresionismo. Su técnica difiere notablemente de la de los impresionistas. Más bien, profundizó en el tratamiento detallista del paisaje propio de su formación alemana. Tuvo, además, gran admiración por las pinturas de Claude Lorrain, Nicolás Poussin y William Turner, quienes fueron insignes paisajistas. En 1845 Ferdinand Bellermann regresó a Hamburgo llevando más de 650 bocetos realizados en Venezuela. No dejó de pintar nuestro paisaje hasta su muerte en 1889. Escrito y Narrado por Susana Benko FOTOGRAFIA: Ferdinand Bellermann Atardecer a orillas del río Manzanares, Cumaná 1867 Óleo sobre tela 88,7 x 122 cm Colección Fundación Museos Nacionales-Galería de Arte Nacional Fotografía: © Carlos Castrejón

In s2e29, Platemark hosts Ann Shafer and Tru Ludwig talk about Claude Lorrain, the arbiter of landscape painting in the 17th century. He worked most of his life in Rome and elevated landscape as a subject up the academic hierarchy by including small figural groups and naming the compositions with mythological or biblical subjects. He's known by various names that can be confusing. He was born Claude Gelée in the independent duchy of Lorraine, which is why the French call him le Lorrain. The English, who collected his works assiduously and even now have the highest number of his works (by country), refer to him simple as Claude. He created an amazing cache of ink and wash drawings of each of his painted compositions in a first catalogue raisonné of sorts. He dubbed this book the Liber Veritatis («the book of truth»). Claude told his biographer Filippo Baldinucci that he kept the record as a defense against others passing off his work as theirs. This bound group of drawings was collected and owned by the Dukes of Devonshire from the 1720s until 1957 when it was given to the British Museum (in lieu of estate taxes upon the death of Victor Christian William Cavendish, the 9th Duke of Devonshire). While Claude died in 1682, his renown in England was enough to prompt the print publisher John Boydell to hire artist Richard Earlom to create prints after the drawings nearly one hundred years after Claude's death. Two hundred etchings with mezzotint were created between 1774 and 1777, and were published in two volumes as Liber Veritatis. Or, A Collection of Two Hundred Prints, After the Original Designs of Claude le Lorrain, in the Collection of His Grace the Duke of Devonshire, Executed by Richard Earlom, in the Manner and Taste of the Drawings.... Later, a third volume of an additional 100 prints was published in 1819. Earlom used etching to mimic Claude's ink lines and mezzotint for the wash areas. They were printed in brown ink to mimic iron gall ink. Hugely influential in England, the books were popular with collectors and were used by artists as models for copying. The Liber Veritatis also inspired J.M.W. Turner to produce a similar project of 71 prints after Turner's painted compositions, which he called Liber Studiorum. They may appear old fashioned to contemporary viewers, but rest assured, landscape was just getting its legs under it. Boring imagery? Maybe. But important for our story of the history of prints in the West. Episode image: Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Seaport with Ulysses Returning Chryseis to Her Father, c. 1644. Pen and brown ink with brown and blue wash, heightened with white on blue paper. 19.8 x 26.2 cm. British Museum, London.   Gian Lorenzo Bernini (Italian, 1598–1680). Bust of Louis XIV, 1665. Marble. Palace of Versailles. Hyacinth Rigaud (French, 1659–1743). Louis VIX, 1700–01. Oil on canvas. 277 x 194 cm. (109 x 76 3/8 in.) The Louvre, Paris. Claude Mellan (French, 1598–1688). Louis XIV as a Child, 1618–1688. Engraving. Sheet (trimmed to platemark): 13 9/16 x 9 1/2 in. (34.5 x 24.2 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Federico Barocci (Italian, 1528–1612). The Stigmatization of St. Francis, after the painting in the Church of the Capuccines, Urbino, c. 1575. Etching, engraving, and drypoint. Plate: 228 x 145 mm. (9 x 5 ¾ in.). Achenbach Foundation for Graphic Arts, Fine Arts Museum of San Francisco. Federico Barocci (Italian, 1528–1612). The Annunciation, c. 1585. Etching and engraving. Sheet (trimmed within platemark): 17 3/8 × 12 5/16 in. (441 × 312 mm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Rembrandt (Dutch, 1606–1669). Christ Crucified between the Two Thieves: The Three Crosses (iv/iv state), c. 1660. Drypoint. Sheet (trimmed to platemark): 15 1/16 x 17 1/2 in. (382 x 444 mm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Annibale Carracci (Italian, c. 1557–c. 1642). St. Jerome in the Wilderness, c. 1591. Etching and engraving. Sheet (trimmed to platemark) : 24.8 x 19.2 cm. (9 ¾ x 7 9/16 in.). Metropolitan Museum of Art, New York. Guido Reni (Italian, 1575–1642). The Holy Family, c. 1595–1600. Etching and engraving. Sheet (trimmed to platemark): 20 x 14 cm. (7 7/8 x 5 12 in.). Metropolitan Museum of Art, New York. Jusepe de Ribera (Spanish, 1591–1652). The Penitence of St. Peter. 1621. Etching and engraving. Sheet (trimmed to platemark): 31.8 x 24.2 cm. (12 ½ x 9 ½ in.). Metropolitan Museum of Art, New York. Salvator Rosa (Italian, 1615–1673). Jason and the Dragon, 1663–64. Etching and drypoint. Plate: 13 5/16 × 8 9/16 in. (33.8 × 21.8 cm.); sheet: 14 5/16 × 9 15/16 in. (36.4 × 25.3 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Gian Lorenzo Bernini (Italian, 1598–1680). The Ecstasy of Saint Teresa, 1647-52.  White marble set in an elevated aedicule in the Cornaro Chapel, Santa Maria della Vittoria, Rome. Caravaggio (Italian, 1571–1610). Conversion of Saint Paul on the Way to Damascus, 1600–01. Oil on canvas. 230 × 175 cm. (91 × 69 in.). Santa Maria del Popolo, Rome. Andrea Pozzo (Italian, 1642–1709). Assumption of St. Francis, c. 1685. Sant'Ignazio, Rome. Pietro Testa (Italian, 1612–1650). The Martyrdom of St. Erasmus, c. 1630. Etching. Sheet: (trimmed to platemark): 27.9 x 18.9 cm. (11 7 7/16 in.). Metropolitan Museum of Art, New York. Jacques Callot (French, 1592–1635). Plate eleven: The Hanging from the series The Large Miseries and Misfortunes of War, 1633. Etching. Sheet: 4 1/8 x 8 1/4 in. (10.5 x 21 cm.); plate: 3 1/4 x 7 5/16 in. (8.2 x 18.6 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Peter Paul Rubens (Flemish, 1577–1640). The Consequences of War, 1637–38. Oil on canvas mounted to panel. 206 x 342 cm. (81 x 134 ½ in.). Palazzo Pitti, Florence. Diego Velasquez (Spanish, 1599–1660). Surrender at Breda, 1634–35. Oil on canvas. 307 x 367 cm. (121 x 144 in.) Museo del Prado, Madrid. Callot's Hanging Tree spreads word of the facts of the attack on Nancy, whereas paintings can only be in one place (Rubens' Consequences of War and Velasquez's Surrender at Breda). Jean Marot (French, 1619–1679), after Gian Lorenzo Bernini (Italian, 1598–1680). The Louvre in Paris, elevation of the principal facade facing Saint-Germain l'Auxerrois. Plate 8 from Jacques-François Blondel's Architecture françoise, volume 4, book 6. Nicolas Poussin (French, 1594–1665). Et in Arcadia ego, 1637–38. Oil on canvas. 85 × 121 cm. (34 1/4 × 47 1/4 in.). Louvre, Paris. Nicolas Poussin (French, 1594–1665). Landscape with St. John Patmos, 1640. Oil on canvas. 100.3 × 136.4 cm (39 1/2 × 53 5/8 in.). Art Institute of Chicago, Chicago. Nicolas Poussin (French, 1594–1665). The Abduction of the Sabine Women, c. 1633–34. Oil on canvas. 60 7/8 x 82 5/8 in. (154.6 x 209.9 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Rembrandt van Rijn (Dutch, 1606–1669). Landscape with the Good Samaritan, 1638. Oil on oak panel. 46.2 × 65.5 cm. (18 × 25 3/4 in.). Czartorynski Museum, Kraków. Jacob van Ruisdael (Dutch, 1628/1629–1682). View of Haarlem with Bleaching Fields, c. 1670–75. Oil on canvas. 62.2 x 55.2 cm. (24 ½ x 21 ¾ in.). Kunsthaus Zurich, Zurich. Thomas Cole (American, born England, 1801–1848). Catskill Mountains Landscape, c. 1826. Oil on panel. 15 15/16 x 21 7/8 in. Sheldon Museum, University of Nebraska-Lincoln. Tru's diagrams of Poussin's Et in Arcadia Ego. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Self-Portrait. Oil on canvas. Musée des Beaux-Arts de Tours. Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Frontispiece for the Liber Studiorum, 1777. Plate: 7 x 5 in. New York Public Library. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Seaport with the Embarkation of the Queen of Sheba, 1648. Oil on canvas. 149.1 × 196.7 cm. (58 3/4 × 77 1/2 in.). National Gallery, London. One of many Claude Lorrain paintings with its corresponding diagram. Several diagrams showing compositional plans according to the Golden Ratio. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Rustic Dance, 1637. Oil on canvas. Galleria degli Uffizi, Florence. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). The Village Boerendans Dance, c. 1637. Etching. 29.7 x 24.1 cm. (11 ¾ x 9 ½ in.). Alamy Stock Photo. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Harbor Scene with Rising, 1634. Etching. Sheet: 5 9/16 x 8 1/4 in. (14.1 x 21 cm.); plate: 5 1/8 x 7 13/16 in. (13 x 19.8 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Harbor Scene with Rising Sun, c. 1649. Oil on canvas. 97 x 119 cm. (38 x 46 ¾ in.). Hermitage Museum, St. Petersburg. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Seaport with Ulysses Returning Chryseis to Her Father, c. 1644. Pen and brown ink with brown and blue wash, heightened with white on blue paper. 19.8 x 26.2 cm. British Museum, London. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Seaport with Ulysses Returning Chryseis to Her Father, 1650s. Oil on canvas. 119 x 150 cm (46 ¾ x 59 in.). Louvre, Paris. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Landscape wirth Aeneas at Delos, c. 1672. Pen and brown ink and brown wash, with gray-brown wash. 19.3 x 25.6 cm. British Museum, London. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Landscape with Aeneas at Delos, 1672. Oil on canvas. 99.6 x 134.3 cm. National Gallery, London. Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Index of owners of Claude's paintings in the Liber Veritatis. British Museum, London. Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682). Holy Family, from the Liber Veritatis, 1776. Etching and aquatint. Sheet : 23 x 29.4 cm.; plate: 20.8 x 26.3 cm. Pushkin State Museum of Fine Arts, Moscow. Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682), published by John Boydell (British, 1719–1804). Liber veritatis: or, A collection of prints, after the original designs of Claude le Lorrain ; in the collection of His Grace the Duke of Devonshire, 1777–1819. New York Public Library, New York. John Boydell (British, 1719–1804), publisher. Dedication from Liber veritatis: or, A collection of prints, after the original designs of Claude le Lorrain ; in the collection of His Grace the Duke of Devonshire, 1777–1819. New York Public Library, New York. James Mallord William Turner (British, 1775–1851). Fifth Plague of Egypt, from the Liber Studiorum, part III, plate 16), 1808. Etching only (before first state). Plate: 7 x 10 in. (17.8 x 25.4 cm.); sheet: 8 1/8 x 25 in. (20.6 x 63.5 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. James Mallord William Turner (British, 1775–1851) and Charles Turner (British, 1774–1857). Fifth Plague of Egypt, from the Liber Studiorum, part III, plate 16), 1808. Etching and mezzotint (first state of three). Plate: 7 1/16 x 10 1/4 in. (17.9 x 26 cm.); sheet: 8 1/4 x 11 7/16 in. (21 x 29.1 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Claude Glass. Science Museum, London. Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682), published by John Boydell (British, 1719–1804). No. 154 from Liber veritatis: or, A collection of prints, after the original designs of Claude le Lorrain ; in the collection of His Grace the Duke of Devonshire, 1777–1819. New York Public Library, New York. Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682), published by John Boydell (British, 1719–1804). No. 1 and 2 from Liber veritatis: or, A collection of prints, after the original designs of Claude le Lorrain ; in the collection of His Grace the Duke of Devonshire, 1777–1819. New York Public Library, New York. Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682), published by John Boydell (British, 1719–1804). No. 3 and 4 from Liber veritatis: or, A collection of prints, after the original designs of Claude le Lorrain ; in the collection of His Grace the Duke of Devonshire, 1777–1819. New York Public Library, New York.  Richard Earlom (British, 1743–1822), after Claude Lorrain (French, c. 1600–1682), published by John Boydell (British, 1719–1804). No. 13 and 14 from Liber veritatis: or, A collection of prints, after the original designs of Claude le Lorrain ; in the collection of His Grace the Duke of Devonshire, 1777–1819. New York Public Library, New York. Claude Mellan (French, 1598–1688). Moses Before the Burning Bush, 1663. Engraving. Sheet (trimmed to platemark): 9 7/16 x 13 3/16 in. (24 x 33.5 cm.). Metropolitan Museum of Art, New York. Golden mean diagram, https://blog.artsper.com/en/a-closer-look/golden-ratio-in-art/.  

On accueille le podcast Le 48/64 pour un crossoverLa femme à l'étoile – Théodore Poussin – Stray DogsBienvenue dans l'épisode 97 du Gaufrier, le podcast BD C'est un épisode doublement spécial que nous vous proposons. D'abord parce que nous accueillons deux invités dans ce podcast, il s'agit de Thomas et Sacha du podcast Le 48/64. … Continuer la lecture de « LE GAUFRIER, LE PODCAST BD x Le 48/64 – Épisode 97 : La Femme à l'Étoile – Théodore Poussin – Stray Dogs » L'article LE GAUFRIER, LE PODCAST BD x Le 48/64 – Épisode 97 : La Femme à l'Étoile – Théodore Poussin – Stray Dogs est apparu en premier sur Le Gaufrier.

What should we say of a man who claims to judge Homer’s Iliad, Racine’s Phèdre or Poussin’s Deluge as if they were stews or hams? – J.J. Rousseau, Letter to Père Lesage, 1754

Une chronique de Laurent Lafourcade

Retrouvez Jean-Christophe Buisson et ses invités : Eric Biétry-Rivierre, grand reporter au Figaro culture, Isabelle Schmitz, rédactrice en chef adjoint du Figaro Hors-Série, Nicolas Chaudun, critique d'art au Figaro Magazine et Anaël Pigeat, journaliste et critique d'art. Au programme : 1.L'exposition Vermeer au Rijksmuseum d'Amsterdam : les plus grandes œuvres de Vermeer (La Ruelle et Vue de Delft, La Laitière, la jeune fille à la perle, L'Officier et la jeune fille riant…) ; Vermeer, peindre le silence, le Figaro Hors-série, dirigé par M.de Jaeghere et I.Schmitz, 9 février 2023. 2.Comment le monde de l'art s'adapte aux crises depuis 2020 ? 3.Les plus belles expositions de 2023 : Faith Ringgold, du 31 janvier au 2 juillet 2023 au Musée Picasso de Paris ; Miriam Cahn, Ma pensée sérielle, du 17 février au 14 mai 2023 au Palais de Tokyo ; Delacroix et les arts, un pont mystérieux, du 18 février au 18 septembre 2023 au Musée Delacroix ; Permis de conduire ? du 18 octobre 2022 au 7 mai 2023 au Musée des arts et métiers ; Arts et Préhistoire, du 18 novembre 2022 au 22 mai 2023 au Musée de l'Homme ; Gribouillage Scarabocchio, du 8 février au 30 avril 2023 aux Beaux-Arts de Paris ; Poussin et l'amour, du 26 novembre 2022 au 5 mars 2023 aux Beaux-Arts de Lyon ; Louis Boulanger, peintre rêveur, du 10 novembre 2022 au 5 mars 2023, à la Maison de Victor Hugo ; Giovanni Bellini, influences croisées, du 3 mars au 17 juillet 2023 au Musée Jacquemart André ; Pastels, de Millet à Redon, du 14 mars au 2 juillet 2023 au Musée du Quai d'Orsay.Hébergé par Ausha. Visitez ausha.co/politique-de-confidentialite pour plus d'informations.

avec Stéphane Coviaux et Guillaume Sébastien

La pédagogie Montessori est certainement la pédagogie la plus célèbre. Et, depuis quelques années, a particulièrement le vent en poupe en petite enfance. On assiste en effet à un développement important de crèches Montessori sur le territoire. Dans notre série sur les courants pédagogiques pour les jeunes enfants, voici donc un épisode spécial Montessori. Un podcast proposé par Les Pros de la Petite Enfance en partenariat avec HABA Pro , aménageur d'espace de la petite enfance, et réalisé avec Charlotte Poussin, éducatrice Montessori et auteure de nombreux ouvrages sur cette pédagogie, dont Montessori de la naissance à 3 ans (Eyrolles edition).  Music by audionautix 

Une nouvelle blague de Rire & Chansons - Plus de podcasts d'humour sur rireetchansons.fr

Mission encre noire Tome 36 Chapitre 388. La cité Oblique de Christian Quesnel et Ariane Gélinas paru en 2022 aux éditions Alto. Mission encre noire est de retour ! Pour ouvrir cette nouvelle saison, rien de moins que Howard Phillips Lovecraft comme invité, dissimulé sous les traits de Christian Quesnel et Ariane Gélinas. Tendez l'oreille, les premiers grattements et les frottements de créatures étranges et primitives débordent déjà du cadre de ce podcast. À la lucarne de cette splendide bande dessinée, La cité Oblique, les deux auteur.e.s nous proposent de franchir les portes de l'univers formidable d'un géant de la littérature fantastique, inspiré.e.s par les voyages de celui-ci. Le créateur du Mythe de Cthulhu a, non seulement rendu visite, par trois reprises, à la ville de Québec, il en a également tiré sa propre version de l'histoire de la Nouvelle-France. Prenant la balle au bond, Christian Quesnel et Ariane Gélinas, s'accaparent cette matière première, les écrits de Lovecraft, pour revisiter et se réapproprier une passionnante histoire parallèle du Québec. À la limite du songe, du fantastique et du rêve, les peuples déchus ou oubliés qui grouillaient sur les terres d'Elkanah, retrouvent une existence dans l'âme craintive des hommes, grâce à ce splendide projet. Les territoires de ceux qui savent, s'ouvrent à celles et ceux qui sauront voir et écouter. À la faveur de la tombée de la nuit, je vous invite à rencontrer Christian Quesnel et Ariane Gélinas, ce soir, à Mission encre noire.  Extrait:« Épié par Elkanah et ceux-des-ailes-noires, Qartier érigea à Geizpe, « lieu de refuge ombrageux », une croix de 9 mètres portant le blason et le lys. Il donna un coup au flanc d'une terre qui jamais ne lui appartiendrait. Infligea une blessure à ce pays insoumis, vierge de la présence de ceux qui obéissaient aux dieux faibles. Ain de les punir pour leur intrusion, Elkanah et ses semblables les accablèrent du mal qui fait pourrir les gencives.» Les marins ne savent pas nager par Dominique Scali paru en 2022 aux éditions La Peuplade. Oyé, Oyé chèr.e.s concitoyen.e.s, savez-vous nager? Bien que cette fonction ne soit pas essentielle pour vous immerger dans ces pages, sachez qu'ils vous faudra rendre les armes et savoir échouer avec style sur les rives escarpées de l'île dYs : un bout de terre perdu au milieu de l'Atlantique au XVIII ème siècle. Le citoyen Joybbert, charpentier de la Marine issoise a déposé une requête pour une reconnaissance posthume en l'honneur de Danaé Berrubé-Portaguen dite Poussin pour son rôle joué dans le coup d'État de la Grande Rotation. Il faut avoir du courage pour être issoise ou issois. Un.e citoyen.n.e de ce nom se doit de faire ses preuves avant toutes choses pour accéder au Graal : vivre dans la cité fortifiée à l'abri des grandes marées d'équinoxe. Et Danaé n'en manque point, d'abnégation et d'audace. Son destin, ici conté, s'étale sur une lecture passionnante, foisonnante, bluffante de plus de 700 pages.  L'autrice invente une langue vernaculaire colorée et adopte les codes du roman d'aventures maritimes pour mieux nous charmer. Sirènes ou sorcières, le magnétisme des personnages opère à merveille pour un deuxième roman époustouflant de maîtrise. Destination le littoral déchiqueté de falaises nues, que seuls les oiseaux et les navires de faible tonnage peuvent approcher : l'île d'Ys, ce soir, à Mission encre noire, en compagnie de la citoyenne Dominique Scali. Extrait:« À tribord, au-delà de la pointe du Vieux, une bande de crépuscule rose surlignait le niveau de la mer. Droit devant la proue, ils embouquèrent l'étroit mais profond passage menant à la rade du port d'Ys. Côté est, une suite de protubérances rocheuses surmontées d'une batterie. Côté ouest, un tentacule semi-immergé qui prolongeait la paroi du goulet dans la baie comme un avant poste. Cette bande de gravier et de sable était le résultat de l'action des courants conjuguée à l'accumulation d'épaves échouées sur ses contreforts. On pouvait encore voir briller dans son épaisseur la bouche d'un canon enseveli, reflétant le soleil quand elle n'était pas camouflée par les algues. En creusant un trou en son centre, on eût réalisé que ce bras était moins une bande de terre qu'un ramassis d'échardes qui s'engraissaient toujours plus de leur propre action. Au fond de l'échancrure, un désordre de lampes, torches et bougies formait un amphithéâtre de lumières, la ville se découpant contre le ciel presque noir. Danaé resta éblouie, les bras serrés sous sa cape de lin.»

For the eleventh episode of "Reading the Art World," host Megan Fox Kelly speaks with Emily A. Beeny, curator at The Fine Arts Museum of San Francisco and co-author with Francesca Whitlum-Cooper of the book, “Poussin and the Dance,” published in 2021 by the J. Paul Getty Museum.In this episode, we take an in-depth look at Nicolas Poussin in 17th century Rome — a city rich with classical sculpture from antiquity and Renaissance paintings that led the artist to formulate an entirely new style of painting. This style would make Poussin the model for three centuries of artists in the French classical tradition, from Jacques-Louis David and Edgar Degas to Paul Cézanne and Pablo Picasso. Long considered one of the most influential French painters of the 17th century, the French Neoclassicist Poussin is seen in a wholly new light.Co-author Emily A. Beeny talks with me about how Poussin's paintings from the 1620s and 1630s of gods and goddesses, biblical and historical figures, are choreographed across his canvases like dancers on a stage. Tracing the motif of dance throughout this period, the book examines how Poussin devised new methods of composition and depicting motion. We explore Poussin's artistic process and influences, notably his use of wax figurines to choreograph the compositions he drew and painted.  “Poussin and the Dance” is the first exhibition and first published study devoted to Poussin's dancing pictures. The book, by Beeny and Whitlum-Cooper, was produced in tandem with the exhibition at the National Gallery in London (October 2021 - January 2022) and at the J. Paul Getty Museum in Los Angeles (February - May 2022)."Reading the Art World" is a live interview and podcast series with leading art world authors hosted by art advisor Megan Fox Kelly. The conversations explore timely subjects in the world of art, design, architecture, artists and the art market, and are an opportunity to engage further with the minds behind these insightful new publications.Megan Fox Kelly is an art advisor and President of the Association of Professional Art Advisors who works with collectors, estates and foundations. For more information, visit: meganfoxkelly.com. Follow us on Instagram: @meganfoxkelly, and Twitter: @mfkartadvisory.Purchase “Poussin and the Dance,” by Emily A. Beeny and Francesca Witlum-Cooper, at shop.getty.edu or nationalllery.co.uk.To learn more about the book and exhibition, visit getty.edu.Music composed by Bob Golden.

Video bei https://youtu.be/8Y2ZE9oC74U Seit der Pfarrer Bérenger Saunière in seiner Kirche verschlüsselte Pergamente mit Hinweisen auf einen gewaltigen Schatz gefunden hat, ist das französische Dorf Rennes-le-Château ein Brennpunkt von Legenden und Geschichten. Seit vielen Jahrzehnten machen sich Schatzgräber, christliche Mystiker und Gralssucher aus aller Welt auf den Weg ins Languedoc, um in der Renaissance-Landschaft um das Dorf, in Templerfestungen, Kirchen und Höhlen nach dem Geheimnis des Pfarrers zu suchen — denn eins ist allen klar: Abbé Saunière hat den heiligen Gral gefunden. Oliver beichtet Martina und Till, dass er seit vielen Jahren von den Geschichten und Legenden um den heiligen Gral fasziniert ist – besonders das Rätsel von Rennes-le-Château hat es ihm angetan. Er gibt eine Übersicht über die angeblichen Geschehnisse in diesem französischen Dorf und erzählt Kurzfassungen der vielen lokalen Legenden, die sich seit Jahrzehnten immer weiter entwickeln. Martina und Till stimmen überein: Teniers und Poussin halten den Schlüssel.

durée : 00:59:59 - Les Nuits de France Culture - Par Office national de radiodiffusion télévision française (ORTF) - Avec Bernard Teyssedre

Suite et fin des épisodes sur les centres de soins faune sauvage, cette fois très centrée sur les bénévoles.Ces épisodes 9 à 13/13 font suite aux 4 premiers volets  et aux épisodes 5 à 8/13.   Notre invitée est Manon Tissidre, directrice du Réseau Centres de Soins Faune Sauvage. Cette "fédé" regroupe 18 centres sur les 102 principaux centres existant en France.   Quelques chiffres pour (re)planter le décor en France : . On compte en moyenne 150 bénévoles pour … 1 salarié dans les centres de soin, édifiant ratio du manpower accordé par nos décideurs à la faune sauvage, qui vaut moins tripette que jamais. En tout en France, il y a moins de 150 personnes salariées pour s'occuper de la faune sauvage en détresse. Plus de 80% des effectifs des centres sont bénévoles. Environ 100 000 animaux de 800 espèces différentes sont traités chaque année, avec une augmentation de 20% par an. 92 % des animaux blessés rapportés arrivent pour des causes anthropiques (humaines). En moyenne 50% des animaux rapportés peuvent être relâchés, les autres meurent ou sont euthanasiés. Le coût moyen d'un animal en soin est de 0,83 € / jour/ animal, contre 100 € / jour chez un vétérinaire et 1300 à 3000 € dans un hôpital humain. Ces 0.83 € sont 4 fois inférieurs aux besoins réels minimum. _______  

L'After foot, c'est LE show d'après-match et surtout la référence des fans de football depuis 15 ans ! Les rencontres se prolongent tous les soirs avec Gilbert Brisbois et Nicolas Jamain avec les réactions des joueurs et entraîneurs, les conférences de presse d'après-match et les débats animés entre supporters, experts de l'After et auditeurs. RMC est une radio généraliste, essentiellement axée sur l'actualité et sur l'interactivité avec les auditeurs, dans un format 100% parlé, inédit en France. La grille des programmes de RMC s'articule autour de rendez-vous phares comme Apolline Matin (6h-9h), les Grandes Gueules (9h-12h), Estelle Midi (12h-15h), Super Moscato Show (15h-18h), Rothen s'enflamme (18h-20h), l'After Foot (20h-minuit).

Julia Child!  Cannabis in Jersey! Looking for the next It Plant.  Biking your kids to school. (sounds hard)  Barnes and Noble (saving independent bookstores?). Poussin.  USFL (one more time...) Wastewater Data!!! (we repeat)  Declutter stories. Oz the Mentalist! Credits: Talent:  Tamsen Granger and Dan Abuhoff Engineer:  Ellie Suttmeier Art:  Zeke Abuhoff

Afin de bien commencer la journée, Espérance Média vous propose une courte réflexion sur le message biblique pour votre bien être au quotidien. Pensée du jour Yorann LUPON : Présentée par le Pasteur Yorann LUPON. Une petite pensée par jour afin de vous rapprocher chaque jour plus de Dieu. © Émission produite par ESPÉRANCE MÉDIA

"One of the hopes of this exhibition was really to try to enlist visitors' bodily experience in their understanding of these works of art that can sometimes seem a little bit like they live entirely in our heads, a little bit intellectualized." Although Nicolas Poussin is widely regarded as the most influential painter of the 17th century—the father of French classicism—he is not as well-known as many of his contemporaries, such as Rembrandt, Rubens, and Caravaggio. This is due, in part, to Poussin's austere painting style and erudite subject matter, which often came from Roman history or the Bible. As a result, his work can sometimes feel a bit cold or remote to today's audiences. But earlier in his career, Poussin was inspired by dance. His paintings of wild revelry, filled with dancing satyrs and nymphs, emerged as his signature genre from that time. Poussin and the Dance, organized by the Getty Museum and the National Gallery in London, is the first exhibition to explore the theme of dance in Poussin's work. By supplementing his delightful dancing pictures with new dance films by Los Angeles–based choreographers—this unique exhibition invites viewers into the world of Poussin in a fresh, relatable way. In this episode, Emily Beeny, curator in charge of European paintings at the Fine Arts Museums of San Francisco and curator of Poussin and the Dance, joins Sarah Cooper, public programs specialist at the Getty, to delve into Poussin's process and love of dance. The exhibition, which received generous support from the Leonetti/O'Connell Family Foundation and is sponsored by City National Bank, is on view at the Getty Center through May 8, 2022. For images, transcripts, and more, visit https://blogs.getty.edu/iris/podcast-poussin-and-the-dance-shines-new-light-on-french-painter or http://www.getty.edu/podcasts To explore the exhibition Poussin and the Dance, visit https://www.getty.edu/art/exhibitions/poussin_dance/ To watch the contemporary dance films from Poussin and the Dance, visit https://www.getty.edu/art/exhibitions/poussin_dance/video.html To buy the book Poussin and the Dance, visit https://shop.getty.edu/products/poussin-and-the-dance-978-1606066836

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Éduquer et soigner Aujourd'hui, la priorité réside dans l'accès aux soins et l'accompagnement des victimes de la dépigmentation. "On compare cette pratique à l'addiction aux drogues, or, c'est plus une dépendance psychologique que biochimique, précise le Docteur Mahe. Mon rôle est donc d'accompagner, de donner des conseils aux malades. Ce qui est important, c'est de faire de la prévention et ne pas tomber dans le jugement moral." Le travail de terrain d'acteurs comme Isabelle Mananga Ossey et Antoine Mahe prouve que le chemin est encore long pour endiguer définitivement ces pratiques. En parler est déjà un premier pas.https://amzn.to/3Gmg202 Dépigmentation Volontaire: Blanchiment de la peau (French Edition)Trahisons, humiliations, violences... Certaines situations font souffrir et semblent impardonnables, même venant de personnes appréciées. Pourtant, nombre de spécialistes vous diront qu'il faut savoir pardonner, pour notre paix intérieure et notre épanouissement personnel. Nos conseils pour y parvenir.Qu'est-ce que le pardon ?Le pardon a deux sens bibliques : lorsque Dieu pardonne à un homme, il écarte le châtiment prévu pour le péché. Et lorsqu'un homme pardonne à un autre, il annule ses mauvais sentiments à l'égard de celui qui l'a offensé.https://lesen.amazon.de/kp/embed?asin=B07DHTHDGG&preview=newtab&linkCode=kpe&ref_=cm_sw_r_kb_dp_9HM6ACQRTCMNYG4324V3&tag=storeup09-20☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆https://linktr.ee/jacksonlibon-------------------------------------------------------------------------------------------------#facebook #instagram #amour #couple #couplegoals #famille #relation #doudou #youtube #twitter #tiktok #love #reeĺs #shorts #instagood #follow #like #ouy #oyu #babyshark #lilnasx #girl #happybirthday #movie #olive #garden #menu #deviance #autotrader #trading #khan #academy #carter #carguru #ancestry #accords #abc #news #bts #cbs #huru bluebook #socialmedia #whatsapp #music #google #photography #memes #marketing #india #followforfollowback #likeforlikes #a #insta #fashion #k #trending #digitalmarketing #covid #o #snapchat #socialmediamarketing #bhfyp

Regrets For My Old Dressing Gown, or A Warning To Those Who Have More Taste Than Fortuneby Denis Diderot (1713-1784)Why didn't I keep it? It was used to me and I was used to it. It molded all the folds of my body without inhibiting it; I was picturesque and handsome. The other one is stiff, and starchy, makes me look stodgy. There was no need to which its kindness didn't loan itself, for indigence is almost always officious. If a book was covered in dust, one of its panels was there to wipe it off. If thickened ink refused to flow in my quill, it presented its flank. Traced in long black lines, one could see the services it had rendered me. These long lines announce the litterateur, the writer, the man who works. I now have the air of a rich good for nothing. No one knows who I am.In its shelter I feared neither the clumsiness of a valet, nor my own, neither the explosion of fire nor the spilling of water. I was the absolute master of my old robe. I have become the slave of the new one.The dragon that guarded the golden fleece was no more worried than I am. Care envelopes me.The infatuated old man who turns himself over to the whims , to the mercies of a young girl says, from morning to night; where is my good, my old housekeeper? What demon obsessed me the day I chased her away for this one! And then he cries, he sighs.I don't cry, I don't sigh, but every moment I say: Cursed be he who invented the art of putting a price on common material by tinting it scarlet. Cursed be the precious garment that I revere. Where is my old, my humble, my comfortable rag of common cloth?My friends, keep your old friends. My friends, fear the touch of wealth. Let my example teach you a lesson. Poverty has its freedoms; opulence has its obstacles.O Diogenes! How you would laugh if you saw your disciple beneath Aristipius' luxurious mantle! O Aristipius, this luxurious mantle was paid for by many low acts. What a difference between your soft, crawling, effeminate life and the free and firm life of the rag-wearing cynic. I left behind the barrel in which I ruled in order to serve a tyrant.But that's not all, my friend. Lend an ear to the ravages of luxury, the results of a consistent luxury.My old robe was one with the other rags that surrounded me. A straw chair, a wooden table, a rug from Bergamo, a wood plank that held up a few books, a few smoky prints without frames, hung by its corners on that tapestry. Between these prints three or four suspended plasters formed, along with my old robe, the most harmonious indigence.All is now discordant. No more coordination, no more unity, no more beauty.A new, sterile housekeeper who succeeds to a presbytery, the wife who enters the house of a widower, the minister who replaces a disgraced minister, the Molinist prelate who takes over the diocese of a Jansenist prelate cause no more trouble than the scarlet intruder has caused in my household.I can bear the sight of a peasant woman without disgust. That piece of simple cloth that covers her head, the hair that sparsely falls across her cheeks, those tattered rags that half cover her, that poor short petticoat that doesn't cover half her legs, her naked feet covered with muck cannot wound me. It is the image of a state I respect; its the ensemble of the of the lack of grace of a necessary and unfortunate condition for which I have pity. But my stomach turns and, despite the perfumed atmosphere that follows her, I distance myself, I turn my gaze away from that courtisan whose coiffure a points d'angleterre, torn sleeves, filthy silk stockings and worn shoes show me the poverty of the day combined with the opulence of the previous evening.Such would have been my domicile, if the imperious scarlet hadn't set everything to march in unison with it.I saw the Bergamo cede the wall to which it had so long been attached to the damascene hanging.Two prints not without merit: The Chute de la Manne dans le Desert by Poussin and Esther devant Assuerus of the same painter; the one shamefully chased away by an old man by Rubens was the sad Esther; The falling manna was dissipated by a Tempest by Vernet.The straw chair was relegated to the antechamber by a leather chair.Homer, Virgil, Horace,and Cicero relieved the weak fir bending under their mass and have been closed in in an inlaid armoire, an asylum more worthy of them than of me.A large mirror took over the mantle of my fireplace.Those two lovely molds that I owed to Falconet's friendship, and which he repaired himself, were moved away by a crouching Venus. Modern clay broken by antique bronze.The wooden table was still fighting in the field, sheltered by a mass of pamphlets and papers piled up any which way, and which it appeared would protect it from the injuries that threatened it. One day it met its destiny, and despite my laziness the pamphlets and papers put themselves away in a precious bureau.Evil instinct of the convenient! Delicate and ruinous tact, sublime taste that changes, moves, builds and overturns; that empties the coffers of the fathers; that leaves daughters without a dowry, the sons without an education; that makes so many beautiful things and great evils. You who substituted in my house the fatal and precious desk for the wooden table: it is you who ruins nations, it is you who will perhaps one day take my effects to the Pont Saint-Michel where will be heard the hoarse voice of a certified auctioneer saying: Twenty louis for a crouching Venus.The space that remained between the tablet of this desk and the Tempest by Vernet, which is above it, made for a void disagreeable to the eye. This void was filled by a clock. And what a clock! A clock a la geoffrin; a clock whose the gold contrasts with the bronze.There was a vacant corner next to my window. This corner asked for a writing desk, which it obtained.Another unpleasant void between the tablet of the writing desk and the lovely head by Rubens was filled by two La Grenées.Here is a Magdeleine by the same artist; there is a sketch either by Vien or Machy, for I also went in for sketches. And it was thus that the edifying repair of a philosopher transformed itself into the scandalous cabinet of a publican. In addition, I insult national poverty.All that remains of my original mediocrity is a rug of selvage. I can feel that this pitiful rug doesn't go well with my newfound luxury. But I swore and I swear, like the peasant transferred from his hut to a palace who keeps his sabots, that Denis the philosopher will never walk upon a masterpiece of la Savonnier. When in the morning, covered in my sumptuous scarlet, I enter my office I lower my gaze and I see my old rug of selvage. It reminds me of my beginnings and pride is stopped at the entryway to my heart.No my friend, no, I have not been corrupted. My door is always open to the needy who address themselves to me; they find me as affable as ever. I listen to them, I give them advice, I assist them, I feel for them. My soul has not been hardened, my head has not gotten too big. My back is good and round, just as before. There's the same honesty, the same sensitivity. My luxury is brand new and the poison has not yet acted. But who knows what will happen with time? What can be expected of he who has forgotten his wife and his daughter, who has run up debts, who has ceased to be a spouse and father and who, instead of depositing a useful sum deep in a faithful coffer...Oh holy prophet! Raise you hands to the heavens and pray for a friend in peril. Say to God: If you see in your eternal decrees that riches are corrupting the heart of Denis, don't spare the masterpieces he idolizes. Destroy them and return him to his original poverty. And I, on my side, will say to the heavens: Oh God! I resign myself to the prayer of the holy prophet and to your will. I abandon everything to you. Take back everything, everything except the Vernet! It's not the artist, it is you who made it. Respect your own work and that of friendship.See that lighthouse, see the adjacent tower that rises to the right. See the old tree that the winds have torn. How beautiful that masse is. Above that obscure masse, see the rocks covered in verdure. It is thus that your powerful hand formed them. It is thus that your beneficent hand has carpeted them. See that uneven terrace that descends from the foot of the rocks to the sea. It is the very image of the degradation you have permitted time to exercise on those things of the world that are the most solid. Would your sun have lighted it otherwise? God, if you annihilate that work of art it will be said that you are a jealous God. Have pity on the unfortunates spread out on these banks. Is it not enough for you to have shown them the depths of the abyss? Did you save them only to destroy them? Listen to the prayer of this man who thanks you. Aid in the efforts of he who gathers together the sad remains of his fortune. Close your ear to the imprecations of this madman. Alas, he promised himself such advantageous returns, he had contemplated rest and retirement. He was on his last voyage. A hundred times along the way he calculated on his fingers the size of his fortune and had arranged for its use. And now all of his hopes have vanished; he has barely enough to cover his naked limbs. Be touched by the tenderness of these two spouses. Look at the terror that you have inspired in that woman. She offers you thanks for the evil you did not do her. Nevertheless, her child, too young to know to what peril you exposed it, he, his father and his mother, takes care of the faithful companion of his voyage: he is attaching the collar of his dog. Spare the innocent. Look at that mother freshly escaped from the waters with her spouse: it is not for herself that she is trembling, it is for her child. See how she squeezes it to her breast, how she kisses it. O God, recognize the waters you have created. Recognize them, both when your breath moves them and when your hand calms them. Recognize the black clouds that you gathered and that it pleased you to scatter. Already they are separating, they are moving away; already the light of the day star is reborn on the face of the waters. I foresee calm on that red horizon. How far it is, the horizon! It doesn't end with the sea. The sky descends beneath it and seems to turn around the globe. Finish lighting up the sky; finish rendering tranquility to the sea. Allow those seamen to put their shipwrecked boat back to sea. Assist in their labor, give them strength and leave me this painting. leave it to me, like the rod with which you will punish the vain. It is already the case that it is no longer i that people visit, that people come to listen to: it is Vernet they come to admire in my house. The painter has humiliated the philosopher.Oh my friend, the beautiful Vernet I own! The subject is the end of a storm without a harmful catastrophe. The seas are still agitated, the sky covered in clouds; the sailors are busy on their sunken boat, the inhabitants come running from the nearby mountains. How much spirit this painter has! He needed but a small number of principal figures to render all the circumstances of the moment he chose. How true this scene is! With what lightness, ease and vigor it is all painted. I want to keep this testimony of his friendship. I want my son-in-law to transmit it to his children, his children to theirs, and these latter to those that will be born of them.If only you saw the beauty of the whole of this piece, how everything there is harmonious, how the effects work together, how everything is brought out without effort or affectation. How those mountains on the right are wrapped in vapor. How beautiful those rocks and superimposed edifices are. How picturesque that tree is and the lighting on that terrace. How the light there fades away, how its figures are laid out: true, active, natural, living. How interesting they are, the force with which they are painted. The purity with which they are drawn, how they stand out from the background. The enormous breadth of that space, the verisimilitude of those waters. Those clouds, the sky, that horizon! Here the background is deprived of light, while the foreground is lit up, unlike the usual technique. Come see my Vernet, but don't take it from me!With time all debts will be paid, remorse will be calmed and I will have pure joy. Don't fear that the mad desire to stock up beautiful things has taken control of me. The friends I had I sill have, and their number hasn't grown. I have Lais but Lais doesn't have me. Happy in her arms, I am ready to cede her to she who I'll love and who she'll make happier than me. And I want to tell you a secret: that Lais, who it cost others so much to buy, cost me nothing.(This essay is in the public domain.) 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这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，弄得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，有等着见证历史时刻的、也有等着看笑话的、当然，最多的是等着看热闹的人。我当然只能算是等着看热闹的人啦。事情大致是这样的，9 月20 日当地时间 12:04，北京时间早上6:04 分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。有些人可能奇怪了，这个，我们中国人好像都知道数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实很低，既不是希尔伯特 23 问题，也不是千禧年 7 问题。出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是当之无愧的，因为它是希尔伯特 23 问题和千禧 7 问题中唯一重合的问题，也是千禧 7 问题中的第一个，克雷研究所开出的悬赏金额是 100 万美金。但是，数学圈也有一个梗，问：这世界上最难挣的100 万美金是什么？答：证黎曼猜想。第一个挣是挣钱的挣，第二个证是证明的证。我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火了，所有人都在翘首以盼 4 天后的海德堡获奖者论坛演讲。今天是 9 月 26 日，演讲会开过了，证明论文也公布了，这事暂时告一个段落了。于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是，大老李聊数学，微信公号和电台节目都叫这个：大老李聊数学，李就是木子李，我们去年春节期间在上海一起吃过饭，其实他一点也不老，他目前工作生活在海外，喜欢数学的朋友强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果后面说的有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过 90 大寿啊。9 月 24 日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页!。那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那 100 万美金到手了吗？唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。要说黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。可以说质数，从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类，大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229 个，10 万以内是9592个，但是 1 亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个 ln 是什么鬼了。就是以 e 为底数的对数，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，这是一个无理数，就好像圆周率 π约等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，这个 e 约等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案约等于9.21，我们把10000 代入高斯猜想，约等于 1086，和实际的质数个数 1229 比较接近，如果把 100000 代入高斯猜想，结果是 8686，和实际的质数个数 9592 个也比较接近了。经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式，嗯，这个公式我没法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很复杂。这个估计式被称作质数猜想。这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”了。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造。并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛，第一件事情是1854年，他为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好了。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的：这个 x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就刚好是所有自然数的集合 1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。但如果这里的 x 取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，它等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果 y 的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。所以，这个 zeta 函数想要画出有意义的函数图像，x 的取值就必须是大于 1，我们就把这个大于 1 称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你是当科学家的料，从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。刚才讲的是 zeta 函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼 zeta 函数是对欧拉 zeta 函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取 1 的时候是发散的。刚才说的那个复数平面的复不是正负的负，而是复杂的复，那边有人说了，大兄弟，复数平面没听懂，再解释一下吧。我给你点个赞，这位听众是个率真的人，没有假装听懂了。所有的数可以分为实数和虚数两类，凡是平方之后是正数的数都叫实数，平方之后为负数的数就叫虚数。在数学中我们用小写的字母 i 来表示根号 -1，所以，任意一个复数就可以写成 a+bi 这样的形式，a 就被叫做这个复数的实部，b 就被叫做这个复数的虚部。那什么又是复数平面呢？大家知道，所有的实数都可以在数轴上找到一一对应的点，也就是说，如果把所有的实数连起来，就是一根连续的直线，现在我们把所有的虚数也连起来，又可以得到一根直线。那么我们就可以像画笛卡尔坐标系那样，横着画一根直线表示实数，竖着再画一根与之垂直的直线表示虚数，那么任何一个复数就是这个坐标系中的一个点了，实部的投影在实数轴上，虚部的投影在虚数轴上。这个就叫做复数平面啦。黎曼 zeta 函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上，这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼 zeta 函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是 (-1/12) 吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。 但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做，非平凡零点。对此，他提出了三个命题：第一个是：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由 芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。第二个是： Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。第三个就是把第二个命题的“几乎”去掉： Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为“临界线”。这个命题就是著名的价值100 万美元的“黎曼猜想”，本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！不知道你听懂了没有，我再给你总结一下。黎曼猜想就是说：黎曼在欧拉的一个叫 zeta 函数的基础上，拓展出了黎曼 zeta 函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量 x 的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2 这个点的直线上。嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什么宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼啊。黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道质数的“分布情况”。就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了 99%，但距离 100% 还有无穷远。另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在 e 的700多次方这种恐怖的大数字之后。另外，一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏1百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明：一个是关于“高斯类数”的命题，这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：“黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘”。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。另外一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。这个常数与黎曼假设有这样的关系：如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。如果该常数小于0， 则黎曼猜想为真，且有“余地”地偏向真。如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。说实话，上面这三个结论真的让我难以相信是数学的结论，越听越像是经济学或者政治的结论，什么处于真假的边缘，而且靠近真的这一侧。大致查阅了一下，实在弄不懂，算了，还是那句话，我们感受一下气质吧。那现在对这个常数的研究结果是是什么，目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于 1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他会尝试证明黎曼猜想。第二周，他会尝试证伪黎曼猜想，第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。不过，说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理，数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊。第一时间就尝试搜索英文相关报道。但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个：1.  阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。2.  阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。3.  阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。4.  阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续 2 年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的：“事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪， 保持缄默令其不了了之 (事实上， 阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误)。若如此，“吃瓜群众” 的议论也许就是全部议论了”我和大老李都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如 500 年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法 SHA，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。

这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，弄得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，有等着见证历史时刻的、也有等着看笑话的、当然，最多的是等着看热闹的人。我当然只能算是等着看热闹的人啦。事情大致是这样的，9 月20 日当地时间 12:04，北京时间早上6:04 分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。有些人可能奇怪了，这个，我们中国人好像都知道数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实很低，既不是希尔伯特 23 问题，也不是千禧年 7 问题。出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是当之无愧的，因为它是希尔伯特 23 问题和千禧 7 问题中唯一重合的问题，也是千禧 7 问题中的第一个，克雷研究所开出的悬赏金额是 100 万美金。但是，数学圈也有一个梗，问：这世界上最难挣的100 万美金是什么？答：证黎曼猜想。第一个挣是挣钱的挣，第二个证是证明的证。我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火了，所有人都在翘首以盼 4 天后的海德堡获奖者论坛演讲。今天是 9 月 26 日，演讲会开过了，证明论文也公布了，这事暂时告一个段落了。于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是，大老李聊数学，微信公号和电台节目都叫这个：大老李聊数学，李就是木子李，我们去年春节期间在上海一起吃过饭，其实他一点也不老，他目前工作生活在海外，喜欢数学的朋友强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果后面说的有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过 90 大寿啊。9 月 24 日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页!。那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那 100 万美金到手了吗？唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。要说黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。可以说质数，从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类，大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229 个，10 万以内是9592个，但是 1 亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个 ln 是什么鬼了。就是以 e 为底数的对数，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，这是一个无理数，就好像圆周率 π约等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，这个 e 约等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案约等于9.21，我们把10000 代入高斯猜想，约等于 1086，和实际的质数个数 1229 比较接近，如果把 100000 代入高斯猜想，结果是 8686，和实际的质数个数 9592 个也比较接近了。经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式，嗯，这个公式我没法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很复杂。这个估计式被称作质数猜想。这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”了。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造。并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛，第一件事情是1854年，他为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好了。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的：这个 x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就刚好是所有自然数的集合 1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。但如果这里的 x 取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，它等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果 y 的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。所以，这个 zeta 函数想要画出有意义的函数图像，x 的取值就必须是大于 1，我们就把这个大于 1 称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你是当科学家的料，从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。刚才讲的是 zeta 函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼 zeta 函数是对欧拉 zeta 函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取 1 的时候是发散的。刚才说的那个复数平面的复不是正负的负，而是复杂的复，那边有人说了，大兄弟，复数平面没听懂，再解释一下吧。我给你点个赞，这位听众是个率真的人，没有假装听懂了。所有的数可以分为实数和虚数两类，凡是平方之后是正数的数都叫实数，平方之后为负数的数就叫虚数。在数学中我们用小写的字母 i 来表示根号 -1，所以，任意一个复数就可以写成 a+bi 这样的形式，a 就被叫做这个复数的实部，b 就被叫做这个复数的虚部。那什么又是复数平面呢？大家知道，所有的实数都可以在数轴上找到一一对应的点，也就是说，如果把所有的实数连起来，就是一根连续的直线，现在我们把所有的虚数也连起来，又可以得到一根直线。那么我们就可以像画笛卡尔坐标系那样，横着画一根直线表示实数，竖着再画一根与之垂直的直线表示虚数，那么任何一个复数就是这个坐标系中的一个点了，实部的投影在实数轴上，虚部的投影在虚数轴上。这个就叫做复数平面啦。黎曼 zeta 函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上，这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼 zeta 函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是 (-1/12) 吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。 但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做，非平凡零点。对此，他提出了三个命题：第一个是：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由 芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。第二个是： Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。第三个就是把第二个命题的“几乎”去掉： Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为“临界线”。这个命题就是著名的价值100 万美元的“黎曼猜想”，本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！不知道你听懂了没有，我再给你总结一下。黎曼猜想就是说：黎曼在欧拉的一个叫 zeta 函数的基础上，拓展出了黎曼 zeta 函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量 x 的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2 这个点的直线上。嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什么宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼啊。黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道质数的“分布情况”。就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了 99%，但距离 100% 还有无穷远。另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在 e 的700多次方这种恐怖的大数字之后。另外，一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏1百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明：一个是关于“高斯类数”的命题，这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：“黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘”。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。另外一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。这个常数与黎曼假设有这样的关系：如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。如果该常数小于0， 则黎曼猜想为真，且有“余地”地偏向真。如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。说实话，上面这三个结论真的让我难以相信是数学的结论，越听越像是经济学或者政治的结论，什么处于真假的边缘，而且靠近真的这一侧。大致查阅了一下，实在弄不懂，算了，还是那句话，我们感受一下气质吧。那现在对这个常数的研究结果是是什么，目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于 1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他会尝试证明黎曼猜想。第二周，他会尝试证伪黎曼猜想，第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。不过，说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理，数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊。第一时间就尝试搜索英文相关报道。但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个：1.  阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。2.  阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。3.  阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。4.  阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续 2 年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的：“事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪， 保持缄默令其不了了之 (事实上， 阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误)。若如此，“吃瓜群众” 的议论也许就是全部议论了”我和大老李都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如 500 年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法 SHA，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。

这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，弄得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，有等着见证历史时刻的、也有等着看笑话的、当然，最多的是等着看热闹的人。我当然只能算是等着看热闹的人啦。事情大致是这样的，9 月20 日当地时间 12:04，北京时间早上6:04 分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。有些人可能奇怪了，这个，我们中国人好像都知道数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实很低，既不是希尔伯特 23 问题，也不是千禧年 7 问题。出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是当之无愧的，因为它是希尔伯特 23 问题和千禧 7 问题中唯一重合的问题，也是千禧 7 问题中的第一个，克雷研究所开出的悬赏金额是 100 万美金。但是，数学圈也有一个梗，问：这世界上最难挣的100 万美金是什么？答：证黎曼猜想。第一个挣是挣钱的挣，第二个证是证明的证。我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火了，所有人都在翘首以盼 4 天后的海德堡获奖者论坛演讲。今天是 9 月 26 日，演讲会开过了，证明论文也公布了，这事暂时告一个段落了。于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是，大老李聊数学，微信公号和电台节目都叫这个：大老李聊数学，李就是木子李，我们去年春节期间在上海一起吃过饭，其实他一点也不老，他目前工作生活在海外，喜欢数学的朋友强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果后面说的有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过 90 大寿啊。9 月 24 日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页!。那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那 100 万美金到手了吗？唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。要说黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。可以说质数，从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类，大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229 个，10 万以内是9592个，但是 1 亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个 ln 是什么鬼了。就是以 e 为底数的对数，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，这是一个无理数，就好像圆周率 π约等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，这个 e 约等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案约等于9.21，我们把10000 代入高斯猜想，约等于 1086，和实际的质数个数 1229 比较接近，如果把 100000 代入高斯猜想，结果是 8686，和实际的质数个数 9592 个也比较接近了。经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式，嗯，这个公式我没法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很复杂。这个估计式被称作质数猜想。这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”了。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造。并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛，第一件事情是1854年，他为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好了。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的：这个 x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就刚好是所有自然数的集合 1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。但如果这里的 x 取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，它等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果 y 的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。所以，这个 zeta 函数想要画出有意义的函数图像，x 的取值就必须是大于 1，我们就把这个大于 1 称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你是当科学家的料，从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。刚才讲的是 zeta 函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼 zeta 函数是对欧拉 zeta 函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取 1 的时候是发散的。刚才说的那个复数平面的复不是正负的负，而是复杂的复，那边有人说了，大兄弟，复数平面没听懂，再解释一下吧。我给你点个赞，这位听众是个率真的人，没有假装听懂了。所有的数可以分为实数和虚数两类，凡是平方之后是正数的数都叫实数，平方之后为负数的数就叫虚数。在数学中我们用小写的字母 i 来表示根号 -1，所以，任意一个复数就可以写成 a+bi 这样的形式，a 就被叫做这个复数的实部，b 就被叫做这个复数的虚部。那什么又是复数平面呢？大家知道，所有的实数都可以在数轴上找到一一对应的点，也就是说，如果把所有的实数连起来，就是一根连续的直线，现在我们把所有的虚数也连起来，又可以得到一根直线。那么我们就可以像画笛卡尔坐标系那样，横着画一根直线表示实数，竖着再画一根与之垂直的直线表示虚数，那么任何一个复数就是这个坐标系中的一个点了，实部的投影在实数轴上，虚部的投影在虚数轴上。这个就叫做复数平面啦。黎曼 zeta 函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上，这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼 zeta 函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是 (-1/12) 吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。 但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做，非平凡零点。对此，他提出了三个命题：第一个是：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由 芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。第二个是： Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。第三个就是把第二个命题的“几乎”去掉： Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为“临界线”。这个命题就是著名的价值100 万美元的“黎曼猜想”，本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！不知道你听懂了没有，我再给你总结一下。黎曼猜想就是说：黎曼在欧拉的一个叫 zeta 函数的基础上，拓展出了黎曼 zeta 函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量 x 的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2 这个点的直线上。嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什么宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼啊。黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道质数的“分布情况”。就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了 99%，但距离 100% 还有无穷远。另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在 e 的700多次方这种恐怖的大数字之后。另外，一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏1百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明：一个是关于“高斯类数”的命题，这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：“黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘”。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。另外一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。这个常数与黎曼假设有这样的关系：如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。如果该常数小于0， 则黎曼猜想为真，且有“余地”地偏向真。如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。说实话，上面这三个结论真的让我难以相信是数学的结论，越听越像是经济学或者政治的结论，什么处于真假的边缘，而且靠近真的这一侧。大致查阅了一下，实在弄不懂，算了，还是那句话，我们感受一下气质吧。那现在对这个常数的研究结果是是什么，目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于 1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他会尝试证明黎曼猜想。第二周，他会尝试证伪黎曼猜想，第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。不过，说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理，数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊。第一时间就尝试搜索英文相关报道。但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个：1.  阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。2.  阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。3.  阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。4.  阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续 2 年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的：“事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪， 保持缄默令其不了了之 (事实上， 阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误)。若如此，“吃瓜群众” 的议论也许就是全部议论了”我和大老李都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如 500 年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法 SHA，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。

这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，弄得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，有等着见证历史时刻的、也有等着看笑话的、当然，最多的是等着看热闹的人。我当然只能算是等着看热闹的人啦。事情大致是这样的，9 月20 日当地时间 12:04，北京时间早上6:04 分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。有些人可能奇怪了，这个，我们中国人好像都知道数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实很低，既不是希尔伯特 23 问题，也不是千禧年 7 问题。出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是当之无愧的，因为它是希尔伯特 23 问题和千禧 7 问题中唯一重合的问题，也是千禧 7 问题中的第一个，克雷研究所开出的悬赏金额是 100 万美金。但是，数学圈也有一个梗，问：这世界上最难挣的100 万美金是什么？答：证黎曼猜想。第一个挣是挣钱的挣，第二个证是证明的证。我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火了，所有人都在翘首以盼 4 天后的海德堡获奖者论坛演讲。今天是 9 月 26 日，演讲会开过了，证明论文也公布了，这事暂时告一个段落了。于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是，大老李聊数学，微信公号和电台节目都叫这个：大老李聊数学，李就是木子李，我们去年春节期间在上海一起吃过饭，其实他一点也不老，他目前工作生活在海外，喜欢数学的朋友强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果后面说的有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过 90 大寿啊。9 月 24 日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页!。那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那 100 万美金到手了吗？唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。要说黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。可以说质数，从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类，大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229 个，10 万以内是9592个，但是 1 亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个 ln 是什么鬼了。就是以 e 为底数的对数，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，这是一个无理数，就好像圆周率 π约等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，这个 e 约等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案约等于9.21，我们把10000 代入高斯猜想，约等于 1086，和实际的质数个数 1229 比较接近，如果把 100000 代入高斯猜想，结果是 8686，和实际的质数个数 9592 个也比较接近了。经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式，嗯，这个公式我没法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很复杂。这个估计式被称作质数猜想。这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”了。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造。并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛，第一件事情是1854年，他为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好了。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的：这个 x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就刚好是所有自然数的集合 1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。但如果这里的 x 取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，它等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果 y 的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。所以，这个 zeta 函数想要画出有意义的函数图像，x 的取值就必须是大于 1，我们就把这个大于 1 称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你是当科学家的料，从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。刚才讲的是 zeta 函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼 zeta 函数是对欧拉 zeta 函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取 1 的时候是发散的。刚才说的那个复数平面的复不是正负的负，而是复杂的复，那边有人说了，大兄弟，复数平面没听懂，再解释一下吧。我给你点个赞，这位听众是个率真的人，没有假装听懂了。所有的数可以分为实数和虚数两类，凡是平方之后是正数的数都叫实数，平方之后为负数的数就叫虚数。在数学中我们用小写的字母 i 来表示根号 -1，所以，任意一个复数就可以写成 a+bi 这样的形式，a 就被叫做这个复数的实部，b 就被叫做这个复数的虚部。那什么又是复数平面呢？大家知道，所有的实数都可以在数轴上找到一一对应的点，也就是说，如果把所有的实数连起来，就是一根连续的直线，现在我们把所有的虚数也连起来，又可以得到一根直线。那么我们就可以像画笛卡尔坐标系那样，横着画一根直线表示实数，竖着再画一根与之垂直的直线表示虚数，那么任何一个复数就是这个坐标系中的一个点了，实部的投影在实数轴上，虚部的投影在虚数轴上。这个就叫做复数平面啦。黎曼 zeta 函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上，这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼 zeta 函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是 (-1/12) 吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。 但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做，非平凡零点。对此，他提出了三个命题：第一个是：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由 芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。第二个是： Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。第三个就是把第二个命题的“几乎”去掉： Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为“临界线”。这个命题就是著名的价值100 万美元的“黎曼猜想”，本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！不知道你听懂了没有，我再给你总结一下。黎曼猜想就是说：黎曼在欧拉的一个叫 zeta 函数的基础上，拓展出了黎曼 zeta 函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量 x 的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2 这个点的直线上。嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什么宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼啊。黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道质数的“分布情况”。就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了 99%，但距离 100% 还有无穷远。另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在 e 的700多次方这种恐怖的大数字之后。另外，一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏1百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明：一个是关于“高斯类数”的命题，这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：“黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘”。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。另外一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。这个常数与黎曼假设有这样的关系：如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。如果该常数小于0， 则黎曼猜想为真，且有“余地”地偏向真。如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。说实话，上面这三个结论真的让我难以相信是数学的结论，越听越像是经济学或者政治的结论，什么处于真假的边缘，而且靠近真的这一侧。大致查阅了一下，实在弄不懂，算了，还是那句话，我们感受一下气质吧。那现在对这个常数的研究结果是是什么，目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于 1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他会尝试证明黎曼猜想。第二周，他会尝试证伪黎曼猜想，第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。不过，说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理，数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊。第一时间就尝试搜索英文相关报道。但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个：1.  阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。2.  阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。3.  阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。4.  阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续 2 年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的：“事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪， 保持缄默令其不了了之 (事实上， 阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误)。若如此，“吃瓜群众” 的议论也许就是全部议论了”我和大老李都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如 500 年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法 SHA，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。

这一周以来，数学圈传出来一个大新闻，弄得无数数学家和数学爱好者们都兴奋的不行，有等着见证历史时刻的、也有等着看笑话的、当然，最多的是等着看热闹的人。我当然只能算是等着看热闹的人啦。事情大致是这样的，9 月20 日当地时间 12:04，北京时间早上6:04 分，德国海德堡论坛的官方推特发了一个推，宣称有一位英国数学家证明了数学界皇冠上的明珠——黎曼猜想，并且要在 9 月24 日这天公开演讲，宣布他的证明方法。这条推特以光速瞬间传遍了全世界。有些人可能奇怪了，这个，我们中国人好像都知道数学皇冠上的明珠不是哥德巴赫猜想吗？唉，兄弟，醒醒吧，那是传说。哥德巴赫猜想在数学界的地位其实很低，既不是希尔伯特 23 问题，也不是千禧年 7 问题。出了中国，知道哥德巴赫猜想的人就不多了。真正的明珠是黎曼猜想，它是当之无愧的，因为它是希尔伯特 23 问题和千禧 7 问题中唯一重合的问题，也是千禧 7 问题中的第一个，克雷研究所开出的悬赏金额是 100 万美金。但是，数学圈也有一个梗，问：这世界上最难挣的100 万美金是什么？答：证黎曼猜想。第一个挣是挣钱的挣，第二个证是证明的证。我那天早上一爬起来，就被这条新闻刷屏了，实在是太太太火了，所有人都在翘首以盼 4 天后的海德堡获奖者论坛演讲。今天是 9 月 26 日，演讲会开过了，证明论文也公布了，这事暂时告一个段落了。于是，就有很多听众来问我，黎曼猜想到底咋回事啊？证明成立吗？100万美金能拿到吗？密码学是不是完蛋了？等等。那今天的节目我就来做一期黎曼猜想的专题。首先要说明一点，本期节目的稿子得到了贵人相助，他就是，大老李聊数学，微信公号和电台节目都叫这个：大老李聊数学，李就是木子李，我们去年春节期间在上海一起吃过饭，其实他一点也不老，他目前工作生活在海外，喜欢数学的朋友强烈推荐去看他的公号或者收听节目。另外，限于我们的水平有限，时间也紧张，如果后面说的有什么错误的话，也请大家批评指正，我们有错必改。咱们先来说说这位弄出大新闻的英国数学家，他就是麦克尔·阿蒂亚爵士，菲尔兹奖和阿贝尔奖的双料得主，可以说，一个数学家能拿到的最高荣誉他全都拿过了，绝对不是民间爱好者，是标标准准的学院派。更加令人震惊的是，他今年89岁高龄，按中国人的算法，今年过 90 大寿啊。9 月 24 日当地时间的上午，老先生颤颤巍巍地走上了位于德国海德堡市的一个学术论坛，做了一次45分钟的演讲。在这次演讲中，阿蒂亚爵士宣称他证明了一个困扰人类一个半世纪的难题：黎曼猜想，并且是一个“简单的证明”。这话说的那真叫理性、客观、公正，一点不谦虚、也不骄傲。因为他的证明真的很简单，整个证明就5页纸，从他所做的演讲中所使用的PPT来看，真正关于黎曼假设证明的部分就一页!。那么，他到底证明了吗？很多人可能最关心的是那 100 万美金到手了吗？唉，数学证明这事吧，还真的没法给你来个一句话回答，有点复杂，你得听我从头讲起，完了你就能明白我为啥无法一句话回答你。估计今天这期节目会让部分听众不明觉厉，不用害怕，不明觉厉的感觉其实也挺爽的。我这段时间看的很多公号文章都是这个感觉，但我还是津津有味地读完了。要说黎曼猜想的历史，其实就是人类研究质数的历史。可以说质数，从其概念诞生的第一天起，就一直困扰着人类，大老李的稿子上写的是人类两个字，说实话，顶多也就困扰数学家和数学爱好者吧，99.99% 的普通人谁会为了质数困扰啊，你们说对吧？不过，质数的性质确实令古往今来无数人着迷。有关质数的未解之谜非常多，数学家在不同阶段只能着重去解决有关质数最紧要的问题。在18世纪，数学家重点考察的一个问题是：小于自然数N的质数数量是多少？比如说，1万以内的质数有多少个？我们可以数一下，有1229 个，10 万以内是9592个，但是 1 亿以内呢？1亿亿亿以内呢？能不能找到一个规律呢？据说17岁的高斯，仅凭统计数据和画曲线拟合就猜想：小于自然数X的质数大约有X/lnX个。有些人可能忘记这个 ln 是什么鬼了。就是以 e 为底数的对数，不是 1 、2 、3 的1 啊，是 a、b、c、d、e 的e，这是一个无理数，就好像圆周率 π约等于 3.1415926535897932384626433 巴拉巴拉，这个 e 约等于2.718281828459 巴拉巴拉。lnX的意思是，e的多少次方等于X，比如 ln10000 的意思就是 2.718的多少次方等于 10000 呢？答案约等于9.21，我们把10000 代入高斯猜想，约等于 1086，和实际的质数个数 1229 比较接近，如果把 100000 代入高斯猜想，结果是 8686，和实际的质数个数 9592 个也比较接近了。经过后来很多数学家的研究后，高斯的这个估计是正确的，但大家也看出来了，不够精确。后来高斯和勒让德不约而同的还提出了一个新的估计式，嗯，这个公式我没法念了，放在文稿中了，大家自己看吧，反正很复杂。这个估计式被称作质数猜想。这个猜想到1896年被法国数学家雅克·阿达马和比利时数学家德拉瓦莱普森（CharlesJean de la Vallée-Poussin）先后独立给出证明。质数定理未被证明之前是数学中最重要的待解决问题，没有“之一”。而质数定理被证明后，黎曼猜想就变成数学中最重要的问题，没有“之一”了。黎曼猜想的出现时间恰好是质数猜想提出之后，未证明之前，同样也是有关质数的分布问题。黎曼1826年出生于汉诺威王国，20岁时，按父亲意愿进入哥廷根大学学习哲学和神学。但是，出于爱好，他去听了高斯在哥廷根大学的一些数学课程。高斯慧眼识才，觉得这个年轻人的数学天赋不简单，就建议他不要学神学了，改学数学。经过父亲同意后，黎曼转入柏林大学学习了两年数学，当时在柏林大学那可是名师云集啊。两年后，他返回哥廷根大学继续深造。并在1851年，25岁时获得了博士学位，他的导师不是别人，就是高斯。我给你讲两个传说中的小故事来让大家体会一下这位数学大牛有多牛，第一件事情是1854年，他为取得哥廷根大学讲师职位所作的入职演讲。当时的传统是，有新人入职，必须做一次体现自己学术水平的演讲，这有点像“投名状”。黎曼准备了三个题目，其中一个题目是关于几何基础的，这个题目黎曼自己不是很喜欢，准备也不多。但是高斯偏偏让他讲这个题目。就是这个他“不喜欢不擅长”的题目，后来开创了一门新的几何学，大名鼎鼎的“黎曼几何”，这可是后来爱因斯坦广义相对论所使用的数学基础之一啊。第二件事情是在1859年，他当时33岁。作为当选柏林科学院通信院士的回报，他发表了一篇论文，题目是“论小于给定数值的质数个数”。这个标题听上去就是质数猜想，但实际其论文的意义要远超质数猜想的结论。就是在这篇论文中，他提出了一个函数，著名的“黎曼zeta函数”和三个有关这个函数的命题。为了让你能够初窥黎曼猜想的气质，我要给你介绍一下这个zeta函数，咱们不用追求完全搞懂，能够感受一下这个颗数学王冠上的明珠的气质就好了。Zeta函数的历史可以追溯到约300年前的欧拉时代。我把它转换成我们中学熟悉的代数字母，就是这样的：这个 x 如果取 1，那么就是 1+1/2+1/3 + …一直加下去，如果x 取 -1,那就刚好是所有自然数的集合 1+2+3+4+…。如果你还记得我们高中里学过的最基本的级数求和的话，应该还记得，这两个级数的和都是发散的，也就是说，结果是无穷大。但如果这里的 x 取2，那就不一样了，实际上就是全体自然数平方的倒数和，这个级数的和是收敛的，收敛的意思就是说会等于一个具体的数字，它等于π的平方除以6。实际上，在这个函数中，只要 x 的取值是大于等于 1 ，那么，就一定是收敛的了。大家要知道，我们如果在坐标系中画出函数的图像，那么这个函数不能是发散的，你想啊，如果 y 的值是无穷大，那这个图像就没法画了嘛。所以，这个 zeta 函数想要画出有意义的函数图像，x 的取值就必须是大于 1，我们就把这个大于 1 称作函数的定义域。唉，说到这里，可能有些正在读高中的听众会嫌我啰嗦。同学，跟你说个恐怖的真相，高中阶段就是你理科知识的巅峰阶段了，除非你是当科学家的料，从高考过后，你的理科知识就会一路狂跌了，等你到了我这个年纪，就知道我刚才说的那些像是回到高中课堂的基础知识，对大多数听众来说都是必须的。刚才讲的是 zeta 函数，但不是黎曼zeta函数，黎曼 zeta 函数是对欧拉 zeta 函数的一种扩展。这个扩展过程，术语称为“解析延拓”，其要点之一就是拓展后的函数要保持原先定义域上的函数值，这样才叫一种“拓展”。黎曼把zeta函数的定义域扩展到了整个复数平面，而且仅在函数变量取 1 的时候是发散的。刚才说的那个复数平面的复不是正负的负，而是复杂的复，那边有人说了，大兄弟，复数平面没听懂，再解释一下吧。我给你点个赞，这位听众是个率真的人，没有假装听懂了。所有的数可以分为实数和虚数两类，凡是平方之后是正数的数都叫实数，平方之后为负数的数就叫虚数。在数学中我们用小写的字母 i 来表示根号 -1，所以，任意一个复数就可以写成 a+bi 这样的形式，a 就被叫做这个复数的实部，b 就被叫做这个复数的虚部。那什么又是复数平面呢？大家知道，所有的实数都可以在数轴上找到一一对应的点，也就是说，如果把所有的实数连起来，就是一根连续的直线，现在我们把所有的虚数也连起来，又可以得到一根直线。那么我们就可以像画笛卡尔坐标系那样，横着画一根直线表示实数，竖着再画一根与之垂直的直线表示虚数，那么任何一个复数就是这个坐标系中的一个点了，实部的投影在实数轴上，虚部的投影在虚数轴上。这个就叫做复数平面啦。黎曼 zeta 函数就是通过解析延拓的方法，把定义域扩展到了整个复数平面上，这下能感受到一点黎曼zeta函数的气质了吧。这里插播一下，你可能听到过一个有关数学的高级梗，说黎曼证明了“全体自然数之和为-1/12”。这个梗就是从黎曼 zeta 函数来的，因为，如果把-1代入，计算所得结果为负十二分之一（-1/12）。然后有人就把 -1代入到原先拓展前的级数表达式中，说，你看，全体自然的和不就是 (-1/12) 吗，这个其实是欺负业余数学爱好者不太深入了解解析延拓的梗，不过很多爱好者似乎很乐意被欺负，喜欢津津乐道的传播这个梗。你看，我今天又传播了一次不是。黎曼当然不会去搞这些小聪明，他专注于考察什么样的取值会使得函数的值为0，他把这个称为zeta函数的“零点”。考察下来，他发现，这个函数有一些很明显的零点，就是负偶数，如果你把负偶数代入函数，就等于零。这个结果是显而易见的，所以，黎曼把这些称为平凡零点。所以我们还可以开玩笑说：“全体自然数的平方和为0”。 但黎曼还发现这个函数有些不太明显的零点，他把这些零点叫做，非平凡零点。对此，他提出了三个命题：第一个是：Zeta函数的非平凡零点都在实部大于0小于1的带状区域中，后世称为“临界带”。这个命题黎曼称为“显而易见的普适结果”。但后来人们这发现一点也不“显而易见”，这命题直到49年后才由 芬兰数学家梅林和德国数学家蒙戈尔特证明。第二个是： Zeta函数非平凡零点“几乎”都在实部等于1/2的这条线上。这里的“几乎”是个数学术语，大致意思是不在这条线上的零点数量与这条线上的零点数量之比趋于0。第三个就是把第二个命题的“几乎”去掉： Zeta函数的非平凡零点都在实部等于1/2的这条线上，被称为“临界线”。这个命题就是著名的价值100 万美元的“黎曼猜想”，本期节目讲到一半了，黎曼猜想是什么终于出来了！不知道你听懂了没有，我再给你总结一下。黎曼猜想就是说：黎曼在欧拉的一个叫 zeta 函数的基础上，拓展出了黎曼 zeta 函数，他发现，要让这个函数的计算结果为零，变量 x 的取值要么是全体平凡的负偶数，要么就是无穷多个不平凡的复数，如果把这些不平凡的复数连起来，它们就会全部落在复平面上的一根垂直于实数轴1/2 这个点的直线上。嗯，简单来说，黎曼猜想就是一根超凡脱俗的金色竖线。怎么样，搞明白黎曼猜想了吗？我想，即便没弄明白，至少能感受到它的气质了吧。哇，好高冷的气质啊。这也就是为什么宣称证明哥德巴赫猜想的民间数学爱好者有许许多多，但是宣称证明黎曼猜想的民间数学爱好者我没见过一个，因为人家的气质太超凡，一般的数学爱好者想弄明白这个猜想到底是咋回事都很困难，更不要说去证明了。黎曼在提出黎曼猜想时是十分谨慎的，他的用词是“很可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上”。但不管怎样，黎曼的这篇论文体现了极为高深的数学修养和造诣。黎曼的数学水平简直深不可测，因为在他的文章里经常会提到类似“显而易见”、“不证自明”的字样，但其中有很多对于其他人来说，并不是“显而易见、不证自明”的，可这些内容后来大多数都被证明是正确的了。你说人和人的差距怎么就那么大。不过天妒英才啊，黎曼在1862年，染上了肺结核，这在当时没有好的治疗方法。1866年，他在去意大利疗养途中去世，年仅40岁。但是，还有比黎曼早逝更悲剧的事情，他留下的手稿，大部分都被他的无知管家烧掉了！唉，雇一个有文化的管家多么重要啊。而留下的一小部分被他老婆保留了下来，并赠送给了黎曼生前的好友，另一位德国数学家戴德金。你说这是幸运吧，可黎曼老婆后来觉得黎曼的手稿里有很多私人和家庭方面的隐私信息，她又反悔了，向戴德金要回了一部分手稿。在这些被要回来的手稿中，有一本小册子被认为十分重要，那本小册子是1860年左右，黎曼在刚提出黎曼猜想不久后所使用的。很多人认为那本小册子里有黎曼对zeta函数零点问题的重要思考和计算。但这本如同九阳真经一般的小册子被黎曼老婆索回后就不知所踪了，唉，取一个有文化的老婆也很重要啊。有人说那本册子后来被德国数学史学家哈根收藏，但哈根 1946 年死于二战后十分混乱的德国，他的遗物从未被发现过。但即使在黎曼留下的不多的手稿中，也有一个惊人的大发现：黎曼提出黎曼猜想时，不像有些人认为是“凭直觉”所得，而是扎扎实实、认认真真的计算过黎曼zeta函数的大约前10个零点，也有人认为达到20个，这一发现是在1932年。要知道黎曼去世后，其他人再次“找出”zeta函数零点的计算方法花了四十四年，而且人们发现黎曼用的方法，比当时1932年已知的任何零点计算方法都要先进，也就是黎曼领先了其他人约70年时间之多！让我再次膜拜一下这位大牛，我在做这期节目之前，我一直认为最牛的数学家是欧拉、高斯这些神人，现在才知道，真正的神人是黎曼啊。黎曼zeta函数的0点计算不但需要高超数学技巧，还需要很多的耐心，那是一个没有计算机的年代。但黎曼为什么还要那么如此费心的去手动计算zeta函数的零点呢，就是因为他明白黎曼猜想的重要性。这个重要性在于黎曼猜想与质数分布有极大的关联性。前面说过“质数定理”给出了小于自然数N的质数数量。但如果证明黎曼猜想，我们就不但能知道质数的数量，而且能知道质数的“分布情况”。就像概率学当中，我们知道随机变量可以是均匀分布，正态分布等等。那同样也可以问“质数的分布”是啥？黎曼猜想就能回答这个问题。另一方面，从黎曼猜想诞生至今150多年以来，人们发现有上千个命题可以从黎曼猜想中推出，以至于人们都经常把黎曼猜想当做真命题使用，所以它也被称为“黎曼假设”，像是数学里一只“会下金蛋的鸡”。而可想而知，如果黎曼假设被证伪，那将是人类对质数认知的一次重大打击，那上千个命题中有一大半会挂掉，也就是那些以黎曼假设为必要条件的命题。到目前为止，人类对黎曼猜想证明的最佳结果是1989年，美国数学家康瑞（Conrey)得出的：zeta函数至少有约40%的零点在临界线上。这与最终结论需要的100%还是有非常大的差距。说实话，在数学中，哪怕证明了 99%，但距离 100% 还有无穷远。另外，人们也用计算机计算了黎曼zeta函数的上万亿个零点位置，无一发生例外，很明显继续计算是毫无意义了。而历史告诉我们，有关质数的命题，再多的实证也是白搭，数学家曾经发现过一个关于质数的命题，它的反例会发生在 e 的700多次方这种恐怖的大数字之后。另外，一个大家熟知的事实是，2000年，美国克雷数学研究所提出了“千禧年7大数学难题”，每个问题悬赏1百万美元，黎曼猜想当然位列其中，而且是排在第一个。这七个问题，都是当今数学中最为困难也是最有价值和意义的7个问题，到现在仅有庞加莱猜想被解决。关于证明黎曼猜想的困难程度，我还可以举两个例子证明：一个是关于“高斯类数”的命题，这个命题内容不重要，关键是这个命题的证明模式是这样的：如果黎曼假设成立，则这个命题成立；如果黎曼假设不成立；则这个命题也成立；所以这命题成立！但是黎曼假设是否成立，我们还是不知道。这个命题的证明模式不但可能是数学史上独一无二的，更重要的是，它也告诉我们：“黎曼假设很难，因为它处于正确与不正确的边缘”。如果黎曼假设偏于正确或者偏于错误更多一点，则以上推导模式必有一种会失败。而以上推导模式能成立，则必然说明，黎曼假设处于正确和错误的边界上，即：比黎曼假设强一点的命题必错误，比黎曼假设弱一点的命题，必成立。另外一个例子是有关“德布鲁因-纽曼常数”。这个常数与黎曼假设有这样的关系：如果该常数大于0，则黎曼猜想是错的。如果该常数小于0， 则黎曼猜想为真，且有“余地”地偏向真。如果该常数等于0，则黎曼猜想还是为真，但处于真或假的边缘，且靠“真”的这一侧。说实话，上面这三个结论真的让我难以相信是数学的结论，越听越像是经济学或者政治的结论，什么处于真假的边缘，而且靠近真的这一侧。大致查阅了一下，实在弄不懂，算了，还是那句话，我们感受一下气质吧。那现在对这个常数的研究结果是是什么，目前的最好成果是：这个常数不超过1/2。而著名澳籍华裔数学家陶哲轩和另一位研究者在今年1月合作发表的论文中，有待评议地证明了德布鲁因-纽曼常数大于等于0。所以，目前我们的最好成果就是，这个常数介于0和1/2之间，准确地说就是大于等于0，且小于 1/2，那这样一来，黎曼猜想如果是真命题，就必须要证明这个常数不多不少，刚好等于0。现在，我们发现这个常数处于如此狭小地接近0，但是偏向否命题的区间内，则再次说明黎曼猜想是恰好：“位于对与错的边缘，让人不知如何挑选”。还有一个比较搞笑的例子是：曾经有一位数学家接受采访时说，他研究黎曼猜想的方式是第一周，他会尝试证明黎曼猜想。第二周，他会尝试证伪黎曼猜想，第三周再回到证明猜想，如此循环往复。因为他怕自己站错队伍，跑错方向，而把自己一生给浪费了。不过，说到这里，我又想到了著名的哥德尔定理，数学家哥德尔证明了一个让许多数学家三观崩溃的定理，简单来说，就是在数学中，会存在一些用数学本身既不能证明是真，也不能证明是假的命题。换句话说啊，一个数学命题，如果你假设它是假的，也就是用反证法，你不能用数学方法推导出矛盾的结论。但是，如果你假设它是真的，也不能用数学方法推导出矛盾的结论。数学就是这么神奇。老天保佑黎曼猜想不是这种真假莫辨的命题。好了，关于黎曼猜想的历史我就说到这里。那我们再来看看这次阿蒂亚爵士的新闻事件。话说阿蒂亚爵士新闻刚出来的时候，我第一反应就是，这可是爆炸性新闻啊。第一时间就尝试搜索英文相关报道。但是第一天的时候居然没有任何报道，这不是一个好兆头。第二天总算有些报道了，其中《新科学家》杂志说：他们询问了一些数学家的意见，但是所有人都拒绝了评论。但是网上的评论大多是持悲观态度的，给出的理由通常是这样四个：1.  阿蒂亚的讲座只有45分钟。这么重大的话题，45分钟的规格显然太小了。对比一下怀尔斯公布费马大定理证明的讲座，搞了三天，每天净演讲时间至少三小时。2.  阿蒂亚已经89岁了，而当代数学家在60岁以上作出重大贡献的很少。张益唐在58岁推动孪生质数猜想的研究的例子，是一个例外中的例外。3.  阿蒂亚最近几年多次声称证明了一些命题，但没有被同行接受的，比如2016年一篇名为“不存在复数6球面”（“Non-existent complex6-sphere”）的文章。4.  阿蒂亚声称有一个“简单的证明”。但历史上，持续很久未证明的命题基本没有任何最终出现“简单”证明的例子，倒是一些命题一开始有的“简单证明”后来被证明是有错误的，比如“费马大定理”，“四色定理”都出现过这样的简单证明。而对阿蒂亚爵士有利的情况只有一个，就是他提到了他的证明用到了“冯·诺依曼，狄拉克等人的成果。这个表述比较具体，提供了一些他证明的背景。后来的情况是，阿蒂亚的证明论文提前在预印本网站上被放出来了，演讲那一天，我们又看到了他的PPT。论文实在是短的很，而且用到了物理中的一个所谓“精细结构常数”和用他老师命名的“Todd函数”。但是基本业内没有人理解他的这个Todd函数，也几乎无人看好他用的物理领域的结论去证明数学猜想。阿蒂亚爵士在演讲的时候说了一句很有趣的话，他说：“如果你默默无名，而你证明了黎曼猜想，你就出名了；而你已经出名了，你又证明了黎曼猜想，那你会变得声名狼藉”。看来阿蒂亚爵士对他此次的这个举动的后果是有一定估计的，所以我也只能说老先生的精神可嘉。会上也有人问了阿蒂亚爵士是否会去领克雷研究所的那100万美元奖金，他回答：“是，我的结果值得那个奖”。但是克雷研究所目前对此事仍然保持沉默。从之前两次重要数论猜想被证明的经验来看，也就是怀尔斯证明费马大定理和佩雷尔曼证明庞加莱猜想，对证明的验证工作一般要持续 2 年之久，当然，这是指最终被证明是正确的证明，如果是错误的证明，恐怕用不了那么久。因为数学论文中，只要有一行被发现错了，全部的论文就都错了。关于后续发展，我借用卢昌海先生在他博客上的评论，卢昌海老师写了一本很好的科普书，就是我现在手头这本《黎曼猜想漫谈》，可以说，昌海老师对黎曼猜想是非常了解的，他是这么评论的：“事情的发展很可能性会印证我所猜测的，即数学界出于对阿蒂亚爵士的敬重，不愿让他难堪， 保持缄默令其不了了之 (事实上， 阿蒂亚爵士的前几次错误也基本是如此落幕的，私下沟通容或有之，但数学界并未大张旗鼓地宣称他的错误)。若如此，“吃瓜群众” 的议论也许就是全部议论了”我和大老李都挺赞同，不了了之大概是此事件最可能的结局。所以，大老李说他有99% 的把握，黎曼猜想在今后很长时间内仍然是猜想。如果我们有生之年能看到黎曼猜想的解决，那是我们非常大的幸运。要知道，著名的数学家希尔伯特曾经说，假如 500 年后我能活过来的话，我最想问的第一个问题是：黎曼猜想被证明了吗？但是，我们还是要对阿蒂亚爵士保持着崇敬之情，我也很希望有人哪怕能从阿蒂亚的论文中发掘出一丁点有用的地方。最后破除一个黎曼猜想的小的谣言，就是“证明黎曼猜想会让密码体系崩溃”。可能是因为黎曼猜想与质数相关，而我们确实有一种常用的密码体系RSA算法是依赖质因数分解问题的。但黎曼猜想虽然很强大，但是证明黎曼猜想并不能帮我们加速判断一个数是否为质数，也不能帮我们更快的分解一个合数，所以不可能影响那个加密体系。或者也可以这样想，我们早已经把黎曼猜想当成是一个真命题来用了，如果它会影响加密体系，那早就影响了，不用等到它证明的那一刻。说比特币系统会崩溃的，那是不知道，比特币系统用的加密算法是椭圆曲线算法 SHA，不需要用到大质数，这个我在介绍比特币和区块链的文章中也详细介绍过。不管怎样，此次事件虽然结局不太会真的证明黎曼假设，但能使更多的人了解这个数学中最重要也超困难的问题，不失为一件好事情。你们想，如果不是因为有这个大新闻再加上我这个标题党的震惊体标题，你们有多少人会认真收听我这期谈数学的节目呢？但是，数学真的很好玩，很有魅力，我最近一直在酝酿谈数学的节目，希望能有更多人能关心数学喜欢数学，今天这期算是一个开端吧。最后，再次感谢一下本期节目的第一撰稿人大老李，强烈推荐他的公号和节目：大老李聊数学。他的口号是：数学不可怕，可怕的是你怕数学。

Constable's Stour landscapes of the Regency period, during and just after the War with France, and his publication English Landscape Scenery, champion local and low-key rural England. John Clare's vernacular poetry in the same period celebrates the kind of rural scenery that escapes the notice of those for whom the paintings of Claude or Poussin are the ideal of landscape. Both Constable's and Clare's localism springs from a very powerful emotional connection with the idea of 'home'.The transcript and downloadable versions of the lecture are available from the Gresham College website: https://www.gresham.ac.uk/lectures-and-events/english-landscape-constable-and-clareGresham College has been giving free public lectures since 1597. This tradition continues today with all of our five or so public lectures a week being made available for free download from our website. There are currently over 2,000 lectures free to access or download from the website.Website: http://www.gresham.ac.uk Twitter: http://twitter.com/GreshamCollege Facebook: https://www.facebook.com/greshamcollege Instagram: http://www.instagram.com/greshamcollege